Calcule: integral0^pi2 2 e^2 x+cos xe^2 x+sin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral0^pi2 2 e^2 x + cos xe^2 x + sin x , dx
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente uma integração de funções que envolvem expoentes e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, onde identificamos uma parte da integral que pode ser simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função no denominador cuja derivada aparece no numerador. O denominador é:
f(x) = e^2x + sin x
Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(e^2x) + ddx(sin x) = 2e^2x + cos x :
Observe que o numerador da nossa integral é exatamente . Isso é uma dica importante!

Passo 3

Sabemos que:
f'(x)f(x) = 2e^2x + cos xe^2x + sin x
A integral de integral f'(x)f(x) , dx = ln|f(x)| + C é conhecida e é igual ao logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral definida, temos:
integral0^pi2 2e^2x + cos xe^2x + sin x , dx = [ ln(e^2x + sin x) ]0^pi2
Isso significa que vamos calcular nos limites de e .

Passo 5

Vamos avaliar nos limites:
  1. Quando e^2 cdot pi2 + sin(pi2) = e^pi + 1 :
ln(e^pi + 1)
Então,
e^2 cdot 0 + sin(0) = 1 + 0 = 1
  1. Quando ln(1) = 0 :
Então,

Resposta

A integral vale:
ln(1 + e^pi)

Exercícios relacionados