Calcule
e
para cada
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular duas probabilidades condicionais envolvendo as variáveis aleatórias
e
em momentos diferentes, especificamente para
e
. Estamos lidando com distribuição conjunta e transições entre estados, que é um conceito importante em probabilidade e cadeias de Markov. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais e como essas variáveis podem se mover de um estado para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade condicional de um evento
dado que
ocorreu é dada por:
No nosso caso, queremos calcular
e
.
Passo 3
Vamos supor que as transições só podem ocorrer para
ou
a partir de
. Isso simplifica as coisas porque sabemos que a soma das probabilidades dessas transições deve ser igual a 1, ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos de mais informações sobre como exatamente
e
mudam. Sem detalhes específicos, vamos assumir que as transições para
e
têm probabilidades iguais. Então, cada uma terá uma probabilidade de
.
Passo 5
Se as probabilidades não forem iguais, precisaríamos de informações adicionais, como taxas de transição ou funções de probabilidade que definam como
e
mudam de estado. Nesse caso, sem essas informações, nossa melhor suposição são probabilidades iguais.
Passo 6
Portanto, com base na suposição de transições igualmente prováveis, temos:
e
Resposta
As probabilidades condicionais são iguais a
para cada transição, ou seja,
e