Calcule
P((Xi+1, Yi+1)=(k+1, l) mid(Xi+1, Yi+1)=(k, l))
e
P((Xi+1, Yi+1)=(k, l+1) mid(Xi+1, Yi+1)=(k, l))
para cada i=1,2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular duas probabilidades condicionais envolvendo as variáveis aleatórias e em momentos diferentes, especificamente para e . Estamos lidando com distribuição conjunta e transições entre estados, que é um conceito importante em probabilidade e cadeias de Markov. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais e como essas variáveis podem se mover de um estado para outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade condicional de um evento P(A mid B) = P(A cap B)P(B) dado que ocorreu é dada por:
No nosso caso, queremos calcular e .

Passo 3

Vamos supor que as transições só podem ocorrer para P((Xi+1, Yi+1) = (k+1, l) mid (k, l)) + P((Xi+1, Yi+1) = (k, l+1) mid (k, l)) = 1 ou a partir de . Isso simplifica as coisas porque sabemos que a soma das probabilidades dessas transições deve ser igual a 1, ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos de mais informações sobre como exatamente e mudam. Sem detalhes específicos, vamos assumir que as transições para e têm probabilidades iguais. Então, cada uma terá uma probabilidade de .

Passo 5

Se as probabilidades não forem iguais, precisaríamos de informações adicionais, como taxas de transição ou funções de probabilidade que definam como e mudam de estado. Nesse caso, sem essas informações, nossa melhor suposição são probabilidades iguais.

Passo 6

Portanto, com base na suposição de transições igualmente prováveis, temos:
P((Xi+1, Yi+1) = (k+1, l) mid (k, l)) = 12
e
P((Xi+1, Yi+1) = (k, l+1) mid (k, l)) = 12

Resposta

As probabilidades condicionais são iguais a P((Xi+1, Yi+1) = (k+1, l) mid (k, l)) = 12 para cada transição, ou seja,
P((Xi+1, Yi+1) = (k, l+1) mid (k, l)) = 12
e

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