Calcule: A probabilidade de que uma mudança na média do processo para 82:
(i) seja detectada na primeira amostra subsequente;
(ii) seja detectada apenas na quinta amostra subsequente;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um processo cuja média mudou para 82 e queremos descobrir duas probabilidades:
  1. Que essa mudança seja detectada na primeira amostra após a mudança.
  2. Que essa mudança seja detectada apenas na quinta amostra após a mudança.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e processos de detecção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada vez que coletamos uma amostra após a mudança, há uma certa probabilidade de detectar essa mudança. Vamos chamar essa probabilidade de . Isso significa que, em cada amostra, há:
  • Uma chance de de detectar a mudança.
  • Uma chance de de não detectar a mudança.

Passo 3

(i) Detectar na primeira amostra

Queremos saber a probabilidade de detectar a mudança na primeira amostra. Como cada amostra tem uma probabilidade Probabilidade = p de detectar a mudança, a resposta é simplesmente:

Passo 4

(ii) Detectar apenas na quinta amostra

Agora, queremos a probabilidade de que a mudança não seja detectada nas quatro primeiras amostras e seja detectada na quinta. Para isso, multiplicamos as probabilidades:
  1. Não detectar nas quatro primeiras amostras: Cada uma tem probabilidade (1 - p) times (1 - p) times (1 - p) times (1 - p) = (1 - p)^4 , então para quatro amostras:
Probabilidade = (1 - p)^4 times p
  1. Detectar na quinta amostra: Probabilidade .
Multiplicando essas duas partes, temos:

Resposta

(i) A probabilidade é .
(ii) A probabilidade é .

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