Calcule o tamanho da amostra aleatória simples necessária para estimar o peso médio de um lote de 30000 bois que garanta um erro amostral não superior a 5% e nível de confiança de 95%?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir quantos bois precisamos pesar para estimar a média de peso de um lote de 30.000 bois. Para isso, precisamos entender sobre amostragem e intervalo de confiança. Vamos usar uma fórmula que relaciona o tamanho da amostra com o erro desejado e o nível de confiança que queremos ter nos nossos resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é erro amostral. O erro amostral é a diferença máxima que a média da amostra pode ter em relação à média real da população. No nosso caso, queremos que esse erro não seja maior que 5%. Além disso, o nível de confiança de 95% significa que estamos 95% confiantes de que a média da amostra está dentro desse erro em relação à média real.
Passo 3
Para calcular o tamanho da amostra, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra
- $ Z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população
- $ E $ é o erro máximo permitido
Passo 4
Como não temos o desvio padrão ($ \sigma $) da população, vamos assumir que a distribuição dos pesos é aproximadamente normal e usar uma estimativa conservadora. Se não soubermos $ \sigma $, podemos usar a fórmula para populações finitas, ajustando o tamanho da amostra para o tamanho da população:
Onde:
- $ N = 30.000 $ é o tamanho da população
- $ p $ é a proporção estimada (vamos usar 0,5 para ser mais conservador)
Passo 5
Para um nível de confiança de 95%, o valor de $ Z_{\alpha/2} $ é aproximadamente 1,96. O erro $ E $ é 5%, ou seja, 0,05.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando passo a passo:
- $ 1,96^2 = 3,8416 $
- $ 0,5 \cdot (1-0,5) = 0,25 $
- Numerador: $ 30000 \cdot 3,8416 \cdot 0,25 = 30000 \cdot 0,9604 = 28812 $
- Denominador: $ 0,05^2 \cdot 29999 + 3,8416 \cdot 0,25 = 0,0025 \cdot 29999 + 0,9604 = 75 + 0,9604 = 75,9604 $
- Finalmente: $ n = \frac{28812}{75,9604} \approx 379,5 $
Resposta
Precisamos de aproximadamente 380 bois na amostra aleatória simples para estimar o peso médio do lote de 30.000 bois, garantindo um erro amostral não superior a 5% e um nível de confiança de 95%.