Calcule Z e V para o vapor dágua a 250^circ C e 1800 kPa , das seguintes formas:
(a) Equação virial truncada [Eq. (3.38)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes virial:
B=-152,5 cm^3 cdot mol^-1 C=-5800 cm^6 cdot mol^-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fator de compressibilidade $ Z $ e o volume molar $ V $ para o vapor d’água a $ 250^{\circ} \mathrm{C} $ e 1800 kPa. Para isso, vamos usar a equação virial truncada. Esse método é ótimo para ajustar a equação de estado dos gases com base em coeficientes experimentais. Vamos precisar dos coeficientes viriais $ B $ e $ C $, que já foram fornecidos: $ B = -152,5 , \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} $ e $ C = -5800 , \mathrm{cm}6/\mathrm{mol}2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação virial truncada até o termo de $ C $:
C
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V_m $ é o volume molar, $ R $ é a constante dos gases, e $ T $ é a temperatura.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o fator de compressibilidade $ Z $, que é definido por:
Z
Então, podemos reescrever a equação virial como:
Z = P VmRT

Passo 4

Vamos agora rearranjar essa equação para resolver para $ V_m $. Multiplicando ambos os lados por $ V_m^2 $:
Vm
Mas como $ Z = \frac{P V_m}{RT} $, podemos substituir:
Vm^2

Passo 5

Isolando os termos, temos uma equação cúbica em $ V_m $:
Vm
Vamos agora inserir os valores numéricos. Precisamos converter as unidades para que tudo esteja consistente. Vamos usar:
  • $ R = 8,314 , \mathrm{J/(mol \cdot K)} $
  • $ T = 250 + 273,15 = 523,15 , \mathrm{K} $
  • $ P = 1800 , \mathrm{kPa} = 1800 \times 10^3 , \mathrm{Pa} $
  • $ B = -152,5 , \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} = -152,5 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} $
  • $ C = -5800 , \mathrm{cm}6/\mathrm{mol}2 = -5800 \times 10^{-12} , \mathrm{m}6/\mathrm{mol}2 $

Passo 6

Substituindo os valores na equação cúbica:
1800 times 10^38,314 times 523,15 Vm^3 - Vm^2 - (-152,5 times 10^-6) Vm - (-5800 times 10^-12) = 0
Calculando os coeficientes:
1800 times 10^38,314 times 523,15 approx 414,3 , mol/(m^3)
Então, a equação fica:
414,3 Vm^3 - Vm^2 + 0,0001525 Vm + 0,0000058 = 0

Passo 7

Resolver uma equação cúbica pode ser complicado, mas podemos usar métodos numéricos ou aproximações. Para simplificar, assumimos que os termos com $ C $ são pequenos e inicialmente ignoramos $ C $, resolvendo a equação quadrática:
C
Fatorando $ V_m $:
C
Desconsideramos $ V_m = 0 $ (sem sentido físico), então:
414,3 Vm^3 - Vm^2 + 0,0001525 Vm = 0

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Vm = 1 pm raiz1 - 4 times 414,3 times 0,00015252 times 414,3
Calculando o discriminante:
raiz1 - 4 times 414,3 times 0,0001525 approx raiz1 - 0,252 approx raiz0,748 approx 0,865
Então:
Vm = 1 pm 0,865828,6
Escolhemos a solução positiva:
Vm = 1 + 0,865828,6 approx 1,865828,6 approx 0,00225 , m^3/mol
Convertendo para $ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} $:
cm^3/mol

Passo 9

Agora que temos $ V_m $, podemos calcular $ Z $:
Vm

Resposta

Para o vapor d’água a $ 250^{\circ} \mathrm{C} $ e 1800 kPa, usando a equação virial truncada:
250^circ C
Z approx 0,931

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