Calcule
e
para o vapor dágua a
e 1800 kPa , das seguintes formas:
(a) Equação virial truncada [Eq. (3.38)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes virial:
(a) Equação virial truncada [Eq. (3.38)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes virial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fator de compressibilidade $ Z $ e o volume molar $ V $ para o vapor d’água a $ 250^{\circ} \mathrm{C} $ e 1800 kPa. Para isso, vamos usar a equação virial truncada. Esse método é ótimo para ajustar a equação de estado dos gases com base em coeficientes experimentais. Vamos precisar dos coeficientes viriais $ B $ e $ C $, que já foram fornecidos: $ B = -152,5 , \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} $ e $ C = -5800 , \mathrm{cm}6/\mathrm{mol}2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação virial truncada até o termo de $ C $:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V_m $ é o volume molar, $ R $ é a constante dos gases, e $ T $ é a temperatura.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o fator de compressibilidade $ Z $, que é definido por:
Então, podemos reescrever a equação virial como:
Passo 4
Vamos agora rearranjar essa equação para resolver para $ V_m $. Multiplicando ambos os lados por $ V_m^2 $:
Mas como $ Z = \frac{P V_m}{RT} $, podemos substituir:
Passo 5
Isolando os termos, temos uma equação cúbica em $ V_m $:
Vamos agora inserir os valores numéricos. Precisamos converter as unidades para que tudo esteja consistente. Vamos usar:
- $ R = 8,314 , \mathrm{J/(mol \cdot K)} $
- $ T = 250 + 273,15 = 523,15 , \mathrm{K} $
- $ P = 1800 , \mathrm{kPa} = 1800 \times 10^3 , \mathrm{Pa} $
- $ B = -152,5 , \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} = -152,5 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} $
- $ C = -5800 , \mathrm{cm}6/\mathrm{mol}2 = -5800 \times 10^{-12} , \mathrm{m}6/\mathrm{mol}2 $
Passo 6
Substituindo os valores na equação cúbica:
Calculando os coeficientes:
Então, a equação fica:
Passo 7
Resolver uma equação cúbica pode ser complicado, mas podemos usar métodos numéricos ou aproximações. Para simplificar, assumimos que os termos com $ C $ são pequenos e inicialmente ignoramos $ C $, resolvendo a equação quadrática:
Fatorando $ V_m $:
Desconsideramos $ V_m = 0 $ (sem sentido físico), então:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Escolhemos a solução positiva:
Convertendo para $ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} $:
Passo 9
Agora que temos $ V_m $, podemos calcular $ Z $:
Resposta
Para o vapor d’água a $ 250^{\circ} \mathrm{C} $ e 1800 kPa, usando a equação virial truncada: