Calcule o volume do conjunto dado
{(x, y, z) em R^3: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^(x+y)}.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do conjunto dado por . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes utilizando integrais triplas. Vamos precisar entender como configurar essa integral para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites das variáveis:
  • varia de 0 a 1.
  • também varia de 0 a 1.
  • Para cada par , varia de 1 até .
Isso significa que o volume é definido em um bloco onde e estão entre 0 e 1, e está entre 1 e uma função exponencial que depende de e .

Passo 3

Para calcular o volume, usamos uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:
Vamos começar integrando em relação a :
Agora, substituímos essa expressão na integral dupla:

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Calculando a primeira parte:
Calculando a segunda parte:

Resposta

Portanto, o volume é:

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