No cálculo da porosidade total (Pt) a partir da densidade do solo (Ds) e da densidade de partículas, demonstre que:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a porosidade total (Pt) pode ser calculada usando as densidades do solo (Ds) e das partículas (Dp) com a fórmula:
Para resolver isso, vamos mexer com conceitos de densidade e porosidade no contexto de solos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é porosidade. Porosidade (Pt) é a fração do volume total do solo que é ocupado pelos espaços vazios, ou seja, os poros. Imagine um esponja: a porosidade seria a parte que é ar dentro da esponja.
Matematicamente, podemos expressar a porosidade assim:
Aqui, é o volume dos vazios (os “poros”) e é o volume total do solo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre densidade. A densidade do solo (Ds) é a massa do solo dividida pelo volume total:
Já a densidade das partículas (Dp) é a massa das partículas dividida pelo volume das partículas:
Onde é o volume ocupado pelas partículas sólidas.

Passo 4

Sabendo que o volume total do solo é a soma do volume das partículas e dos vazios, temos:
Queremos expressar em termos de e :

Passo 5

Vamos relacionar as densidades agora. A massa das partículas pode ser escrita como:
Substituindo isso na fórmula da densidade do solo:

Passo 6

Vamos isolar na equação acima:
Mas lembrando que:
Substituindo:

Resposta

Portanto, demonstramos que a porosidade total é dada por:

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