O calor liberado (cal/g) de uma mistura de cimento tem distribuição aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Desejamos testar H0: mu=100 cal / g contra H1: mu neq 100 cal / g, com uma amostra de 9 espécimes.
Se a região crítica for definida como 98,5 <= barx <= 101,5, encontre a probabilidade do erro tipo I ( alpha ); (R: 0, 02444)

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos testar se a média do calor liberado por uma mistura de cimento é igual a 100 cal/g. Para isso, vamos usar uma amostra de 9 espécimes com desvio-padrão conhecido de 2 cal/g. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de cometer um erro tipo I (α), que é a chance de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Vamos precisar entender sobre distribuição normal, erro padrão e cálculos de probabilidades usando o z-score.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a distribuição do calor liberado segue uma distribuição normal com média (μ) igual a 100 cal/g e desvio-padrão (σ) igual a 2 cal/g. Como estamos trabalhando com uma amostra de tamanho n = 9, vamos calcular o erro padrão da média (σₓ̄), que é dado por:
sigmabarx = sigmaraizn = 2raiz9 = 23 approx 0,6667

Passo 3

A hipótese nula (H₀) que queremos testar é H₀: μ = 100 cal/g. A hipótese alternativa (H₁) é H₁: μ ≠ 100 cal/g. Queremos encontrar α, que é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira. Para isso, definimos uma região crítica, que no caso é o intervalo 98,5 ≤ x̄ ≤ 101,5. Se a média amostral cair fora desse intervalo, rejeitamos H₀.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de erro tipo I (α), precisamos calcular as probabilidades de a média amostral estar abaixo de 98,5 ou acima de 101,5. Isso envolve calcular os z-scores correspondentes a esses valores:
z = barx - musigmabarx
Para x̄ = 98,5:
z1 = 98,5 - 1000,6667 approx -2,25
Para x̄ = 101,5:
z2 = 101,5 - 1000,6667 approx 2,25

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de z ser menor que -2,25 ou maior que 2,25. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que:
P(z < -2,25) approx 0,0122
P(z > 2,25) approx 0,0122

Passo 6

Somando as duas probabilidades acima, obtemos a probabilidade total de cometer um erro tipo I:
alpha = P(z < -2,25) + P(z > 2,25) approx 0,0122 + 0,0122 = 0,0244

Resposta

A probabilidade do erro tipo I (α) é aproximadamente 0,02444.

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