Num estudo das propriedades da inércia térmica de um tipo de concreto, foram testadas 5 amostras do material, e as medidas de temperatura ( em ^circ C ) em seu interior foram reportadas: 23,01; 22,22; 22,04; 22,62; 22,59.
É possível afirmar, com 95 % de confiança, que o desvio-padrão da temperatura é inferior a 0,40^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem cinco medidas de temperatura em um tipo de concreto: 23,01°C; 22,22°C; 22,04°C; 22,62°C; e 22,59°C. A pergunta é: com 95% de confiança, dá pra afirmar que o desvio-padrão dessas temperaturas é menor que 0,40°C?
Vamos usar estatística inferencial, especificamente para estimar o desvio-padrão com base em uma amostra pequena. Para isso, a gente vai precisar calcular a variância da amostra e usar a distribuição qui-quadrado ( chi^2) para construir um intervalo de confiança para o desvio-padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das temperaturas:
barx = 23,01 + 22,22 + 22,04 + 22,62 + 22,595 = 112,485 = 22,496 , ^circC
Agora, vamos calcular a variância da amostra. A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(23,01 - 22,496)^2 &= (0,514)^2 = 0,264196 (22,22 - 22,496)^2 &= (-0,276)^2 = 0,076176 (22,04 - 22,496)^2 &= (-0,456)^2 = 0,207936 (22,62 - 22,496)^2 &= (0,124)^2 = 0,015376 (22,59 - 22,496)^2 &= (0,094)^2 = 0,008836
Somando tudo:
sum (xi - barx)^2 = 0,264196 + 0,076176 + 0,207936 + 0,015376 + 0,008836 = 0,57252
Agora, calculamos a variância:
s^2 = 0,572525 - 1 = 0,572524 = 0,14313 , ^circC^2
E o desvio-padrão é:
s = raiz0,14313 approx 0,3786 , ^circC

Passo 3

Agora que temos o desvio-padrão da amostra, vamos construir um intervalo de confiança para a variância usando a distribuição qui-quadrado. A fórmula para o intervalo de confiança da variância é:
( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 )
Como estamos interessados em saber se o desvio-padrão é menor que 0,40°C com 95% de confiança, vamos focar no limite superior do intervalo de confiança para a variância.

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico chi^2 para 95% de confiança e n - 1 = 4 graus de liberdade. Como queremos o limite superior, usamos chi^21 - alpha.
Consultando a tabela chi^2, para 4 graus de liberdade e 95% de confiança, o valor crítico é aproximadamente 0,484.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite superior para a variância:
Limite Superior = (n - 1)s^2chi^21 - alpha = 4 times 0,143130,484 approx 0,572520,484 approx 1,183
Então, o limite superior para o desvio-padrão é:
raiz1,183 approx 1,089 , ^circC

Passo 6

Como o limite superior do desvio-padrão é aproximadamente 1,089°C, que é maior que 0,40°C, não podemos afirmar, com 95% de confiança, que o desvio-padrão da temperatura é inferior a 0,40°C.

Resposta

Não, com 95% de confiança não é possível afirmar que o desvio-padrão da temperatura é inferior a 0,40^circ C.

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