Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de 38,1 mm. Uma amostra aleatória de 25 mancais é selecionada, e o diâmetro médio observado é de 38,0365 mm. Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído, com sigma= 0,254 mm.
Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo de confiança bilateral para o diâmetro médio.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem um mancal com diâmetro nominal interno de 38,1 mm e queremos saber se a média dos diâmetros dos mancais está dentro de um intervalo de confiança, ou seja, se a média observada de 38,0365 mm está próxima do valor nominal. A matéria que vamos usar aqui é Intervalo de Confiança para a Média, e pra resolver isso, vamos precisar da média da amostra, do desvio padrão da população, e do tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém a média verdadeira da população. Como a gente sabe o desvio padrão da população ( sigma = 0,254 mm) e a distribuição é normal, podemos usar a fórmula do intervalo de confiança Z.

Passo 3

A fórmula do intervalo de confiança Z é:
x pm Zalpha/2 cdot sigmaraizn
Onde:
  • x é a média da amostra.
  • Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos identificar os valores que já temos:
  • Média da amostra ( x): 38,0365 mm
  • Desvio padrão da população ( sigma): 0,254 mm
  • Tamanho da amostra ( n): 25

Passo 5

Agora, precisamos escolher o nível de confiança. Como a questão não especifica, vamos assumir que seja 95%, que é o mais comum. Para um nível de confiança de 95%, o valor de Zalpha/2 é aproximadamente 1,96.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
0,254raiz25 = 0,2545 = 0,0508 , mm

Passo 7

Agora, vamos multiplicar o valor crítico Z pelo erro padrão:
1,96 times 0,0508 = 0,0996 , mm

Passo 8

Finalmente, vamos construir o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
38,0365 - 0,0996 = 37,9369 , mm
38,0365 + 0,0996 = 38,1361 , mm

Resposta

O intervalo de confiança bilateral de 95% para o diâmetro médio é de 37,9369 mm a 38,1361 mm.

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