Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de . Uma amostra aleatória de 25 mancais é selecionada, e o diâmetro médio observado é de . Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído, com .
Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida, construindo um intervalo de confiança bilateral para o diâmetro médio.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem um mancal com diâmetro nominal interno de 38,1 mm e queremos saber se a média dos diâmetros dos mancais está dentro de um intervalo de confiança, ou seja, se a média observada de 38,0365 mm está próxima do valor nominal. A matéria que vamos usar aqui é Intervalo de Confiança para a Média, e pra resolver isso, vamos precisar da média da amostra, do desvio padrão da população, e do tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém a média verdadeira da população. Como a gente sabe o desvio padrão da população ( mm) e a distribuição é normal, podemos usar a fórmula do intervalo de confiança Z.
Passo 3
A fórmula do intervalo de confiança Z é:
Onde:
x é a média da amostra.
Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
sigma é o desvio padrão da população.
n é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos identificar os valores que já temos:
Média da amostra (x): 38,0365 mm
Desvio padrão da população (sigma): 0,254 mm
Tamanho da amostra (n): 25
Passo 5
Agora, precisamos escolher o nível de confiança. Como a questão não especifica, vamos assumir que seja 95%, que é o mais comum. Para um nível de confiança de 95%, o valor de Zalpha/2 é aproximadamente 1,96.
Passo 6
Vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
0,254raiz25 = 0,2545 = 0,0508 , mm
Passo 7
Agora, vamos multiplicar o valor crítico Z pelo erro padrão:
1,96 times 0,0508 = 0,0996 , mm
Passo 8
Finalmente, vamos construir o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
38,0365 - 0,0996 = 37,9369 , mm
38,0365 + 0,0996 = 38,1361 , mm
Resposta
O intervalo de confiança bilateral de 95% para o diâmetro médio é de 37,9369 mm a 38,1361 mm.