Um campo de velocidade incompressível é dado por
desconhecida e
em que
e
são constantes. Qual deve ser a forma da componente
da velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de campo de velocidade incompressível. A gente tem a componente
e
, onde
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar a forma da componente
. Para isso, vamos usar a condição de incompressibilidade, que nos diz que a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Ou seja, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
,
e
.
Passo 2
A condição de incompressibilidade para um campo de velocidade tridimensional é dada por:
Como a velocidade é incompressível, essa soma deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
-
:
-
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na condição de incompressibilidade:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos integrar a equação:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 6
Como não há mais informação sobre
e como o campo é incompressível, podemos considerar que
seja uma função que apenas depende de
. Para simplificar, assumimos que
é zero.
Resposta
A componente
da velocidade é: