(2,0) Um campo de velocidade incompressível é dado por u=a(x^2-y^2), v desconhecida e w=b em que a e b são constantes. Qual deve ser a forma da componente v da velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de campo de velocidade incompressível. A gente tem a componente e , onde e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a forma da componente . Para isso, vamos usar a condição de incompressibilidade, que nos diz que a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Ou seja, vamos precisar calcular as derivadas parciais de , e .

Passo 2

A condição de incompressibilidade para um campo de velocidade tridimensional é dada por:
partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z = 0
Como a velocidade é incompressível, essa soma deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. u = a(x^2 - y^2) Rightarrow partial upartial x = 2a x :
w = b Rightarrow partial wpartial z = 0
  1. :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na condição de incompressibilidade:
2a x + partial vpartial y + 0 = 0
Simplificando:
partial vpartial y = -2a x

Passo 5

Agora, para encontrar partial vpartial y = -2a x Rightarrow v = -2a x y + f(x, z) , vamos integrar a equação:
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 6

Como não há mais informação sobre e como o campo é incompressível, podemos considerar que seja uma função que apenas depende de . Para simplificar, assumimos que é zero.

Resposta

A componente v = -2a x y da velocidade é:

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