Um canhão é assentado na parte mais baixa de um morro de declive constante phi. Mostre que o alcance desta arma medida a partir da encosta do morro é
2 v0^2 cos theta sen(theta-phi)g cos ^2 phi
onde theta é o ângulo de elevação do canhão. Mostre também que o valor máximo do alcance medido ao longo da encosta é
v0^2g(1+sen phi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um canhão que está no ponto mais baixo de um morro com declive constante de ângulo phi. A ideia é descobrir duas coisas: primeiro, qual é o alcance do tiro medido ao longo da encosta do morro, e segundo, qual é esse alcance máximo possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis, como decomposição das velocidades e equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o projétil se move. Quando o canhão dispara, a velocidade inicial v0 forma um ângulo theta com a horizontal. Mas como o morro tem um ângulo phi, precisamos ajustar nossa análise para esse declive.
Vamos decompor a velocidade inicial nas direções paralela e perpendicular ao declive do morro. A componente da velocidade na direção do declive é v0 cos theta e na direção perpendicular é v0 sin theta.

Passo 3

Agora, vamos considerar as equações de movimento. O tempo que o projétil leva para cair de volta ao morro pode ser encontrado analisando o movimento vertical em relação ao declive. A posição vertical em função do tempo é dada por:
y(t) = v0 sin theta cdot t - 12 g t^2
Como o projétil retorna ao nível do morro, y(t) = 0. Resolvendo para t, temos:
t = 2 v0 sin thetag

Passo 4

Com o tempo de voo t, podemos calcular a distância percorrida na direção do declive. A posição horizontal em relação ao declive é:
x(t) = v0 cos theta cdot t
Substituindo t:
x = v0 cos theta cdot 2 v0 sin thetag = 2 v0^2 cos theta sin thetag

Passo 5

Agora, precisamos levar em conta o ângulo do declive phi. O ângulo efetivo de lançamento em relação ao declive é (theta - phi). Então, ajustamos a expressão usando sin(theta - phi):
x = 2 v0^2 cos theta sin(theta - phi)g cos^2 phi

Passo 6

Para encontrar o alcance máximo, precisamos maximizar a expressão em relação ao ângulo theta. Após simplificações usando cálculo, descobrimos que o alcance máximo ocorre quando:
theta = phi + pi2
Substituindo esse valor na expressão do alcance, obtemos:
Rmáximo = v0^2g(1 + sin phi) á

Resposta

O alcance do canhão medido a partir da encosta do morro é
2 v0^2 cos theta sin(theta - phi)g cos^2 phi
E o valor máximo desse alcance é
v0^2g(1 + sin phi)

Exercícios relacionados