Um canhão é assentado na parte mais baixa de um morro de declive constante
. Mostre que o alcance desta arma medida a partir da encosta do morro é
onde
é o ângulo de elevação do canhão. Mostre também que o valor máximo do alcance medido ao longo da encosta é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um canhão que está no ponto mais baixo de um morro com declive constante de ângulo
. A ideia é descobrir duas coisas: primeiro, qual é o alcance do tiro medido ao longo da encosta do morro, e segundo, qual é esse alcance máximo possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis, como decomposição das velocidades e equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o projétil se move. Quando o canhão dispara, a velocidade inicial
forma um ângulo
com a horizontal. Mas como o morro tem um ângulo
, precisamos ajustar nossa análise para esse declive.
Vamos decompor a velocidade inicial nas direções paralela e perpendicular ao declive do morro. A componente da velocidade na direção do declive é
e na direção perpendicular é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as equações de movimento. O tempo que o projétil leva para cair de volta ao morro pode ser encontrado analisando o movimento vertical em relação ao declive. A posição vertical em função do tempo é dada por:
Como o projétil retorna ao nível do morro,
. Resolvendo para
, temos:
Passo 4
Com o tempo de voo
, podemos calcular a distância percorrida na direção do declive. A posição horizontal em relação ao declive é:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, precisamos levar em conta o ângulo do declive
. O ângulo efetivo de lançamento em relação ao declive é
. Então, ajustamos a expressão usando
:
Passo 6
Para encontrar o alcance máximo, precisamos maximizar a expressão em relação ao ângulo
. Após simplificações usando cálculo, descobrimos que o alcance máximo ocorre quando:
Substituindo esse valor na expressão do alcance, obtemos:
Resposta
O alcance do canhão medido a partir da encosta do morro é
E o valor máximo desse alcance é