Um átomo esta situado em uma rede cristalina cúbica simples. Se a energia potencial de interação entre dois átomos quaisquer é da forma c r^-alpha onde c e alpha são constantes e r é a distância entre dois átomos, mostre que a energia total de interação de um dado átomo com seus seis vizinhos mais próximos é aproximadamente o potencial do oscilador harmônico tri-dimensional
V=A+B(x^2+y^2+z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um átomo em uma rede cristalina cúbica simples. A gente precisa mostrar que a energia total de interação desse átomo com seus seis vizinhos mais próximos se parece com o potencial de um oscilador harmônico tridimensional, que é dado por $ V = A + B(x{2}+y{2}+z^{2}) $. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial entre dois átomos depende da distância entre eles e usar conceitos de física de redes cristalinas e aproximação harmônica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia potencial de interação dada: $ V® = c r^{-\alpha} $, onde $ c $ e $ \alpha $ são constantes, e $ r $ é a distância entre dois átomos. Essa expressão nos diz que a energia potencial depende inversamente de alguma potência da distância.

Passo 3

Agora, consideramos que o átomo está em equilíbrio na rede, ou seja, a distância entre ele e cada um dos seus vizinhos mais próximos é igual à distância de equilíbrio $ a $. Para estudar pequenas vibrações ao redor desse ponto de equilíbrio, podemos expandir o potencial $ V® $ em série de Taylor em torno de $ r = a $:
a
Como estamos no ponto de equilíbrio, a primeira derivada $ V’(a) $ é zero porque a força é nula. Então, a expressão simplifica para:
V(r)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ V’’(a) $. A derivada de $ V® = c r^{-\alpha} $ em relação a $ r $ é:
V''(a)
E a segunda derivada é:
V(r) = c r^-alpha
Então, em $ r = a $:
r

Passo 5

A energia total de interação do átomo com seus seis vizinhos mais próximos é a soma das energias potenciais individuais. Usando a aproximação harmônica, cada interação contribui com:
Vi approx V(a) + 12 V''(a) (r - a)^2
Como temos seis vizinhos, a energia total é:
Vtotal = 6 V(a) + 12 cdot 6 V''(a) (r - a)^2
Podemos identificar $ A = 6 V(a) $ e $ B = 3 V’’(a) $, obtendo:
A = 6 V(a)

Resposta

Assim, mostramos que a energia total de interação do átomo com seus seis vizinhos mais próximos se aproxima do potencial de um oscilador harmônico tridimensional:
V = A + B(x^2+y^2+z^2)
onde $ A = 6 V(a) $ e $ B = 3 c \alpha (\alpha + 1) a^{-(\alpha + 2)} $.

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