Um capacitor de placas paralelas isolado a vácuo, com separação de placas d, tem uma capacitância . Qual será sua capacitância se um isolante de constante dielétrica e espessura for introduzido entre os eletrodos?

Passo 1

Então, temos um capacitor de placas paralelas no vácuo com capacitância e separação das placas . A questão quer saber como essa capacitância muda quando colocamos um isolante (dielétrico) com constante dielétrica e espessura entre as placas. Vamos precisar usar conceitos de capacitância com dielétrico e como ele afeta a capacitância do capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.

Passo 3

Agora, quando introduzimos um dielétrico entre as placas, a capacitância muda. Se o dielétrico preencher toda a distância , a nova capacitância seria:
Mas no nosso caso, o dielétrico só ocupa metade da distância , ou seja, . Isso significa que teremos duas regiões no capacitor:
  1. Metade com dielétrico ( ) com capacitância
  2. Metade sem dielétrico ( ) com capacitância

Passo 4

Vamos calcular as capacitâncias dessas duas regiões:
  • Para a parte com dielétrico:
  • Para a parte sem dielétrico:

Passo 5

Como as duas partes estão em série (a carga que passa por uma também passa pela outra), a capacitância total do sistema é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , podemos substituir:

Resposta

A nova capacitância será:

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