Um capacitor de placas paralelas isolado a vácuo, com separação de placas d, tem uma capacitância C0. Qual será sua capacitância se um isolante de constante dielétrica kappa e espessura d / 2 for introduzido entre os eletrodos?

Passo 1

Então, temos um capacitor de placas paralelas no vácuo com capacitância e separação das placas . A questão quer saber como essa capacitância muda quando colocamos um isolante (dielétrico) com constante dielétrica e espessura entre as placas. Vamos precisar usar conceitos de capacitância com dielétrico e como ele afeta a capacitância do capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada por:
C0 = varepsilon0 cdot Ad
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.

Passo 3

Agora, quando introduzimos um dielétrico entre as placas, a capacitância muda. Se o dielétrico preencher toda a distância C = kappa cdot C0 = kappa cdot varepsilon0 cdot Ad , a nova capacitância seria:
Mas no nosso caso, o dielétrico só ocupa metade da distância , ou seja, . Isso significa que teremos duas regiões no capacitor:
  1. Metade com dielétrico ( ) com capacitância
  2. Metade sem dielétrico ( ) com capacitância

Passo 4

Vamos calcular as capacitâncias dessas duas regiões:
  • Para a parte com dielétrico:
    C1 = kappa cdot varepsilon0 cdot Ad2 = 2 kappa varepsilon0 Ad
  • Para a parte sem dielétrico:
    C2 = varepsilon0 cdot Ad2 = 2 varepsilon0 Ad

Passo 5

Como as duas partes estão em série (a carga que passa por uma também passa pela outra), a capacitância total 1C = 1C1 + 1C2 do sistema é dada por:
1C = d2 kappa varepsilon0 A + d2 varepsilon0 A
Substituindo os valores de 1C = d2 varepsilon0 A ( 1kappa + 1 ) e :

Passo 6

Resolvendo para C = 2 kappa varepsilon0 Ad (1 + kappa) :
C = 2 kappa1 + kappa C0
Lembrando que , podemos substituir:

Resposta

A nova capacitância será:
C = 2 kappa1 + kappa cdot C0

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