Um carro de competição pesando 7120 N atinge uma velocidade de 430 km / h no quarto de milha. Imediatamente após passar pelo sinalizador de tempo, o piloto abre o paraquedas de frenagem, de área A=2,3 m^2. As resistências do ar e do rolamento do carro podem ser desprezadas. Determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para 160 km / h no ar-padrão.
-FD=m a=m d Vd t stackrelFDlong<=ftrightarrow undersetlongrightarrowlongrightarrow xrightarrowlongrightarrow
& V0=430 km / h & Vf=160 km / h & rho=1,227 kg / m^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um carro de competição que pesa 7120 N e está viajando a uma velocidade inicial de . Ele percorre um quarto de milha e, logo depois, o piloto abre um paraquedas de frenagem com área . Queremos descobrir quanto tempo o carro leva para desacelerar até nas condições dadas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton e a força de arrasto. Vamos precisar também converter as velocidades de km/h para m/s e calcular a massa do carro a partir do seu peso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do carro. Sabemos que o peso ( P = m cdot g ) é dado por:
m = Pg = 71209,81 approx 725 , kg
Onde:
  • (peso do carro)
  • (aceleração da gravidade)
Rearranjando para encontrar a massa ( ):

Passo 3

Agora, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, porque as unidades no SI para velocidade são metros por segundo.
A fórmula para converter km/h para m/s é:
v (m/s) = v (km/h) times 10003600 = v (km/h) times 518
Aplicando isso às velocidades inicial ( V0 = 430 times 518 approx 119,44 , m/s ) e final ( Vf = 160 times 518 approx 44,44 , m/s ):

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração:
F = m cdot a
Aqui, a força que está agindo para desacelerar o carro é a força de arrasto ( FD = 12 cdot rho cdot v^2 cdot CD cdot A ) causada pelo paraquedas. A força de arrasto é dada por:
FD = 12 times 1,227 times v^2 times 1 times 2,3
Onde:
  • FD = 1,41005 times v^2 (densidade do ar)
  • é a velocidade do carro
  • é o coeficiente de arrasto (assumiremos para um paraquedas)
  • (área do paraquedas)
Então:

Passo 5

Vamos agora relacionar a força de arrasto com a aceleração. Sabemos que:
F = m cdot a = m cdot dvdt
Então:
m cdot dvdt = -FD
Isso porque a força de arrasto atua na direção oposta ao movimento, causando desaceleração.
Substituindo 725 cdot dvdt = -1,41005 times v^2 :
dvv^2 = -1,41005725 , dt
Rearranjando:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar o tempo ( integralV0^Vf dvv^2 = -1,41005725 integral0^t dt ) necessário para o carro desacelerar de -1v|V0^Vf = -1,41005725 , t para -(1Vf - 1V0) = -1,41005725 , t .
Integrando de 1Vf - 1V0 = 1,41005725 , t a t = 1Vf - 1V01,41005725 em e de 0 a em :
Calculando as integrais:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 7

Vamos substituir os valores que já calculamos:
t = 144,44 - 1119,441,41005725
Calculando cada parte:
144,44 approx 0,0225 , s/m
1119,44 approx 0,008375 , s/m
0,0225 - 0,008375 = 0,014125 , s/m
Agora,
t = 0,0141251,41005725 approx 0,0141250,0019455 approx 7,26 , s

Resposta

O tempo necessário para que o veículo desacelere de para é aproximadamente 7,26 segundos.

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