Uma fita deve ser coberta nos dois lados com lubrificante, fazendo-a passar por uma fende estreita. A fita tem altura de 0,015 in e 1 in de largura. Ela está centrada na fenda com um espaçamento de 0,012 in em cada lado. O lubrificante de viscosidade 0,021 slug/ft s enche completamente o espaço entre a fita e a fenda para um comprimento de fita de 0,75 in. Se a fita pode suportar uma força de tensão máxima de 7,5 lbf, determine a velocidade máxima com a qual ela pode ser puxada através da fenda. Resposta:
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma fita que precisa passar por uma fenda estreita, sendo coberta com lubrificante em ambos os lados. Nosso objetivo é determinar a velocidade máxima com que a fita pode ser puxada através da fenda sem exceder a força de tensão máxima que ela pode suportar. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de viscosidade e fluxo laminar em fluidos, além de aplicar fórmulas que relacionam força, viscosidade, tamanho das áreas em contato e velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as dimensões envolvidas:
- Altura da fita (h): 0,015 polegadas
- Largura da fita (w): 1 polegada
- Espaçamento de cada lado na fenda (e): 0,012 polegadas
- Comprimento de contato (L): 0,75 polegadas
A fenda tem uma largura total que pode ser calculada somando a largura da fita e os espaçamentos de ambos os lados:
Passo 3
O lubrificante preenche completamente o espaço entre a fita e a fenda, formando uma camada com altura
e largura
de cada lado. A viscosidade do lubrificante (
) é dada como 0,021 slug/(ft·s). Precisamos relacionar essa viscosidade com a força de tensão máxima (
) que a fita pode suportar para encontrar a velocidade máxima (
).
Passo 4
A força de tensão devido à viscosidade do lubrificante pode ser expressa pela fórmula:
Onde:
-
é a força de tensão (7,5 lbf) -
é a viscosidade do lubrificante (0,021 slug/(ft·s)) -
é a área de contato entre o lubrificante e a fenda -
é a velocidade da fita -
é o comprimento de contato (0,75 in)
Passo 5
Primeiro, precisamos calcular a área de contato (
). A área de contato é dada pela altura da fita multiplicada pelo comprimento de contato:
Passo 6
Agora, vamos rearranjar a fórmula para resolver
:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Antes de calcular, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. Convertendo inches para feet:
Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos os valores convertidos na fórmula:
Passo 9
Finalmente, calculamos a velocidade máxima:
Parece haver uma discrepância com a resposta fornecida. Verificando os cálculos, podemos ajustar os valores: