Uma casca esférica condutora com carga líquida nula tem raio interno R1 e raio externo R2. Uma carga pontual positiva +q é colocada no centro da casca.
(a) Use a lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático para encontrar o campo elétrico em três regiões: 0 <= r, R1 e r>R2, onde r é a distância até o centro da casca.
(b) Esboce as linhas de campo elétrico nas três regiões.
© Encontre a densidade de carga na superfície interna (r=R1) e externa (r=R2) da casca.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma casca esférica condutora com carga líquida nula, ou seja, sem carga total, e que possui um raio interno R1 e um raio externo R2. Além disso, colocamos uma carga pontual positiva +q bem no centro dessa casca. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático. Esses conceitos vão nos ajudar a determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor da casca.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático. Em equilíbrio, o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Isso significa que as cargas livres no condutor se rearranjam de forma que anulam qualquer campo interno.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0):
PhiE = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Usaremos essa lei para encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: dentro do raio R1, entre R1 e R2, e fora de R2.

Passo 4

Região 1: 0 <= r < R1
Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio r < R1, centrada no ponto onde a carga +q está colocada. A única carga dentro dessa superfície é +q. Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = qvarepsilon0 implies E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 implies E = q4pi varepsilon0 r^2
Região 2: R1 < r < R2
Nessa região, estamos dentro do material condutor. Como sabemos que o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio é zero:
E = 0
Região 3: r > R2
Aqui, consideramos uma superfície gaussiana esférica com raio r > R2. A casca tem carga líquida nula, mas a carga +q induz uma carga -q na superfície interna ( r = R1) e uma carga +q na superfície externa ( r = R2). A carga total dentro da superfície gaussiana é +q (do centro) mais -q (interior da casca) mais +q (exterior da casca) = +q.
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = qvarepsilon0 implies E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 implies E = q4pi varepsilon0 r^2

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados:
  • Para 0 <= r < R1:
    E = q4pi varepsilon0 r^2
  • Para R1 < r < R2:
    E = 0
  • Para r > R2:
    E = q4pi varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico nas três regiões é dado por:
  • Para 0 <= r < R1:
    E = q4pi varepsilon0 r^2
  • Para R1 < r < R2:
    E = 0
  • Para r > R2:
    E = q4pi varepsilon0 r^2

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