Uma casca esférica condutora com carga líquida nula tem raio interno
e raio externo
. Uma carga pontual positiva
é colocada no centro da casca.
(a) Use a lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático para encontrar o campo elétrico em três regiões:
,
e
, onde
é a distância até o centro da casca.
(b) Esboce as linhas de campo elétrico nas três regiões.
© Encontre a densidade de carga na superfície interna
e externa
da casca.
(a) Use a lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático para encontrar o campo elétrico em três regiões:
(b) Esboce as linhas de campo elétrico nas três regiões.
© Encontre a densidade de carga na superfície interna
Passo 1
Vamos lá! Temos uma casca esférica condutora com carga líquida nula, ou seja, sem carga total, e que possui um raio interno
e um raio externo
. Além disso, colocamos uma carga pontual positiva
bem no centro dessa casca. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático. Esses conceitos vão nos ajudar a determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor da casca.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático. Em equilíbrio, o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Isso significa que as cargas livres no condutor se rearranjam de forma que anulam qualquer campo interno.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Usaremos essa lei para encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: dentro do raio
, entre
e
, e fora de
.
Passo 4
Região 1:
Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio
, centrada no ponto onde a carga
está colocada. A única carga dentro dessa superfície é
. Aplicando a Lei de Gauss:
Região 2:
Nessa região, estamos dentro do material condutor. Como sabemos que o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio é zero:
Região 3:
Aqui, consideramos uma superfície gaussiana esférica com raio
. A casca tem carga líquida nula, mas a carga
induz uma carga
na superfície interna (
) e uma carga
na superfície externa (
). A carga total dentro da superfície gaussiana é
(do centro) mais
(interior da casca) mais
(exterior da casca) =
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Agora, vamos resumir os resultados:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
O campo elétrico nas três regiões é dado por:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: