Caso o campo elétrico de uma carga puntiforme fosse proporcional a
em vez de
, a lei de Gauss ainda seria válida? Explique seu raciocínio. (Dica: considere uma superfície gaussiana esférica centralizada sobre uma única carga puntiforme.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a lei de Gauss ainda funcionaria se o campo elétrico de uma carga puntiforme fosse proporcional a
em vez de
. A matéria aqui envolve Eletrostática, mais especificamente Lei de Gauss e Campo Elétrico. Para resolver, vamos precisar entender como a Lei de Gauss se relaciona com o campo elétrico e como a dependência da distância
afeta essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) é proporcional à carga interna à superfície. Matematicamente, é dado por:
Agora, consideremos o caso onde o campo elétrico
é proporcional a
. Ou seja:
Onde
é uma constante e
é o vetor unitário radial.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na carga puntiforme
. O fluxo elétrico através desta superfície será:
Note que o fluxo depende de
, o raio da superfície gaussiana.
Passo 4
Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico deveria ser igual a
, que é uma constante para uma carga fixa
. No entanto, conforme vimos, o fluxo
depende de
, ou seja, muda com o tamanho da superfície gaussiana.
Passo 5
Essa dependência do fluxo em relação a
contraria a Lei de Gauss, que exige que o fluxo seja constante para uma carga fixa independente do tamanho da superfície gaussiana escolhida.
Resposta
Não, a lei de Gauss não seria válida se o campo elétrico fosse proporcional a
, pois o fluxo elétrico dependeria do raio da superfície gaussiana, contrariando a constância exigida pela lei.