Caso o campo elétrico de uma carga puntiforme fosse proporcional a 1 / r 3 em vez de 1 / r 2, a lei de Gauss ainda seria válida? Explique seu raciocínio. (Dica: considere uma superfície gaussiana esférica centralizada sobre uma única carga puntiforme.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a lei de Gauss ainda funcionaria se o campo elétrico de uma carga puntiforme fosse proporcional a em vez de . A matéria aqui envolve Eletrostática, mais especificamente Lei de Gauss e Campo Elétrico. Para resolver, vamos precisar entender como a Lei de Gauss se relaciona com o campo elétrico e como a dependência da distância afeta essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) é proporcional à carga interna à superfície. Matematicamente, é dado por:
PhiE = ointS E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Agora, consideremos o caso onde o campo elétrico E = k 1r^3 r é proporcional a . Ou seja:
Onde é uma constante e é o vetor unitário radial.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio PhiE = ointS E cdot dA = ointS ( k 1R^3 r ) cdot ( R^2 r dOmega ) = k 1R^3 times R^2 times 4pi R^2 = 4pi k R centrada na carga puntiforme . O fluxo elétrico através desta superfície será:
Note que o fluxo depende de , o raio da superfície gaussiana.

Passo 4

Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico deveria ser igual a , que é uma constante para uma carga fixa . No entanto, conforme vimos, o fluxo depende de , ou seja, muda com o tamanho da superfície gaussiana.

Passo 5

Essa dependência do fluxo em relação a contraria a Lei de Gauss, que exige que o fluxo seja constante para uma carga fixa independente do tamanho da superfície gaussiana escolhida.

Resposta

Não, a lei de Gauss não seria válida se o campo elétrico fosse proporcional a , pois o fluxo elétrico dependeria do raio da superfície gaussiana, contrariando a constância exigida pela lei.

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