Em uma certa localidade o número de filhos de um casal é uma variável aleatória de Poisson (2). Sabendo-se que a probabilidade de nascimento de um bebê do sexo masculino é igual a 0,5 , determine a probabilidade de que nesta localidade, um casal tenha 2 ou mais filhos do sexo masculino.
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que:
- O número de filhos de um casal segue uma distribuição de Poisson com média 2. Isso significa que a probabilidade de um casal ter
filhos é dada por uma fórmula específica dessa distribuição. - Cada filho tem 50% de chance de ser menino.
- Queremos descobrir a probabilidade de um casal ter 2 ou mais filhos do sexo masculino.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição de Poisson e como combiná-la com a probabilidade de cada filho ser menino.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de um casal ter exatamente
filhos é dada por:
Onde:
-
é a média da distribuição (no caso, 2). -
é a base do logaritmo natural (~2,71828). -
é o fatorial de .
Passo 3
Como cada filho tem 50% de chance de ser menino, podemos pensar que a quantidade de filhos masculinos também segue uma distribuição de Poisson, mas com um parâmetro ajustado.
Se a média de filhos é
, e a chance de cada um ser menino é
, então a média para os filhos masculinos será:
Então, o número de filhos masculinos, digamos
, também segue uma distribuição de Poisson com média 1.
Passo 4
Agora, queremos a probabilidade de
. Mas é mais fácil calcular o complementar, ou seja,
. Isso significa:
Vamos calcular
e
usando a fórmula da Poisson com
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Somando as probabilidades de
e
:
Então, a probabilidade de ter 2 ou mais meninos é:
Resposta
A probabilidade de que um casal tenha 2 ou mais filhos do sexo masculino é:
Ou seja, aproximadamente 26,42%.
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