Em uma certa localidade o número de filhos de um casal é uma variável aleatória de Poisson (2). Sabendo-se que a probabilidade de nascimento de um bebê do sexo masculino é igual a 0,5 , determine a probabilidade de que nesta localidade, um casal tenha 2 ou mais filhos do sexo masculino.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que:
  • O número de filhos de um casal segue uma distribuição de Poisson com média 2. Isso significa que a probabilidade de um casal ter filhos é dada por uma fórmula específica dessa distribuição.
  • Cada filho tem 50% de chance de ser menino.
  • Queremos descobrir a probabilidade de um casal ter 2 ou mais filhos do sexo masculino.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição de Poisson e como combiná-la com a probabilidade de cada filho ser menino.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de um casal ter exatamente P(N = k) = e^-lambda lambda^kk! filhos é dada por:
Onde:
  • é a média da distribuição (no caso, 2).
  • é a base do logaritmo natural (~2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

Como cada filho tem 50% de chance de ser menino, podemos pensar que a quantidade de filhos masculinos também segue uma distribuição de Poisson, mas com um parâmetro ajustado.
Se a média de filhos é lambdameninos = lambda times p = 2 times 0,5 = 1 , e a chance de cada um ser menino é , então a média para os filhos masculinos será:
Então, o número de filhos masculinos, digamos , também segue uma distribuição de Poisson com média 1.

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de P(M >= 2) = 1 - [P(M = 0) + P(M = 1)] . Mas é mais fácil calcular o complementar, ou seja, . Isso significa:
Vamos calcular e usando a fórmula da Poisson com .

Passo 5

Calculando P(M = 0) = e^-1 times 1^00! = e^-1 times 1 / 1 = e^-1 :
P(M = 1) = e^-1 times 1^11! = e^-1 times 1 / 1 = e^-1
Calculando :

Passo 6

Somando as probabilidades de P(M < 2) = e^-1 + e^-1 = 2e^-1 e P(M >= 2) = 1 - 2e^-1 :
Então, a probabilidade de ter 2 ou mais meninos é:

Resposta

A probabilidade de que um casal tenha 2 ou mais filhos do sexo masculino é:
P(M >= 2) = 1 - 2e^-1 approx 1 - 22,71828 approx 1 - 0,73576 approx 0,26424
Ou seja, aproximadamente 26,42%.

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