Sobre o binômio de Newton (2 x+1)^5 é correto afirmar:
a) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio é equivalente a 36 .
b) O segundo termo do desenvolvimento é 80 x^3.
c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.
d) O termo independente do desenvolvimento é raiz da equação 2 x+4=-2
e) O desenvolvimento do binômio tem 5 termos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o desenvolvimento do binômio de Newton (2x + 1)^5. Isso envolve a expansão de potências de binômios usando o Teorema de Newton. Para resolver, vamos precisar conhecer os coeficientes binomiais e como aplicar a fórmula do binômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o desenvolvimento de (a + b)^n é dado por:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Aqui, binomnk são os coeficientes binomiais, que representam as combinações de n elementos tomados k a k.

Passo 3

No nosso caso, a = 2x, b = 1 e n = 5. Então, o desenvolvimento será:
(2x + 1)^5 = sumk=0^5 binom5k (2x)^5-k (1)^k

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes binomiais binom5k para k = 0 a 5:
binom50 = 1, binom51 = 5, binom52 = 10, binom53 = 10, binom54 = 5, binom55 = 1

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
(2x + 1)^5 = 1 cdot (2x)^5 + 5 cdot (2x)^4 cdot 1 + 10 cdot (2x)^3 cdot 1^2 + 10 cdot (2x)^2 cdot 1^3 + 5 cdot (2x)^1 cdot 1^4 + 1 cdot (2x)^0 cdot 1^5
Simplificando:
= 32x^5 + 80x^4 + 80x^3 + 40x^2 + 10x + 1

Passo 6

Agora, vamos analisar cada opção:
a) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio é equivalente a 36.
A soma dos coeficientes ocorre quando substituímos x = 1:
(2 cdot 1 + 1)^5 = 3^5 = 243
Então, a soma é 243, não 36. Opção a) está errada.
b) O segundo termo do desenvolvimento é 80x^3.
O segundo termo é 80x^4, não 80x^3. Opção b) está errada.
c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.
Segundo termo: 80x^4
Terceiro termo: 80x^3
Ambos têm coeficiente 80. Opção c) está certa.
d) O termo independente do desenvolvimento é raiz da equação 2x + 4 = -2.
O termo independente é 1. Resolvendo a equação:
2x + 4 = -2 implies 2x = -6 implies x = -3
1 não é igual a -3. Opção d) está errada.
e) O desenvolvimento do binômio tem 5 termos.
Vimos que há 6 termos no desenvolvimento. Opção e) está errada.

Resposta

A opção correta é a c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.

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