Sobre o binômio de Newton é correto afirmar:
a) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio é equivalente a 36 .
b) O segundo termo do desenvolvimento é .
c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.
d) O termo independente do desenvolvimento é raiz da equação
e) O desenvolvimento do binômio tem 5 termos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o desenvolvimento do binômio de Newton . Isso envolve a expansão de potências de binômios usando o Teorema de Newton. Para resolver, vamos precisar conhecer os coeficientes binomiais e como aplicar a fórmula do binômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o desenvolvimento de é dado por:
Aqui, são os coeficientes binomiais, que representam as combinações de elementos tomados a .

Passo 3

No nosso caso, , e . Então, o desenvolvimento será:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes binomiais para a :

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos analisar cada opção:
a) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio é equivalente a 36.
A soma dos coeficientes ocorre quando substituímos :
Então, a soma é 243, não 36. Opção a) está errada.
b) O segundo termo do desenvolvimento é .
O segundo termo é , não . Opção b) está errada.
c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.
Segundo termo:
Terceiro termo:
Ambos têm coeficiente 80. Opção c) está certa.
d) O termo independente do desenvolvimento é raiz da equação .
O termo independente é 1. Resolvendo a equação:
1 não é igual a -3. Opção d) está errada.
e) O desenvolvimento do binômio tem 5 termos.
Vimos que há 6 termos no desenvolvimento. Opção e) está errada.

Resposta

A opção correta é a c) O segundo e o terceiro termos têm o mesmo coeficiente.

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