Um número q é escolhido ao acaso no intervalo (0,1) e a seguir, provas independentes de Bernoulli são realizadas, com probabilidade de sucesso igual a q. Se X é o número de insucessos observados até a ocorrência do primeiro sucesso, calcule a probabilidade de:
a) (X=0)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que resolver a seguinte questão: um número é escolhido aleatoriamente no intervalo . Em seguida, fazemos provas de Bernoulli independentes, onde a probabilidade de sucesso em cada prova é igual a . representa o número de insucessos que observamos até o primeiro sucesso. A pergunta é: qual a probabilidade de ? Ou seja, qual a chance de obtermos um sucesso na primeira tentativa?
Aqui, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicionada e integração, já que é uma variável aleatória contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que obtemos um sucesso na primeira tentativa, sem nenhum insucesso antes. A probabilidade de sucesso em uma única tentativa, dado um valor específico de , é simplesmente .
Mas como é escolhido aleatoriamente no intervalo , precisamos considerar todas as possíveis valores de e calcular a probabilidade total de .

Passo 3

Para isso, utilizamos a probabilidade total. A probabilidade de P(X=0) = integral0^1 P(X=0 | q) cdot f(q) , dq é a integral da probabilidade condicional multiplicada pela função de densidade de , , sobre todo o intervalo de .
Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 4

Sabemos que P(X=0) = integral0^1 q cdot 1 , dq , porque é a probabilidade de sucesso na primeira tentativa dado .
Além disso, como é escolhido uniformemente no intervalo , a função de densidade é constante e igual a 1 nesse intervalo.
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
P(X=0) = integral0^1 q , dq = [ q^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Resposta

A probabilidade de é ou 50%.

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