Um número q é escolhido ao acaso no intervalo
e a seguir, provas independentes de Bernoulli são realizadas, com probabilidade de sucesso igual a q. Se
é o número de insucessos observados até a ocorrência do primeiro sucesso, calcule a probabilidade de:
a)
a)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que resolver a seguinte questão: um número
é escolhido aleatoriamente no intervalo
. Em seguida, fazemos provas de Bernoulli independentes, onde a probabilidade de sucesso em cada prova é igual a
.
representa o número de insucessos que observamos até o primeiro sucesso. A pergunta é: qual a probabilidade de
? Ou seja, qual a chance de obtermos um sucesso na primeira tentativa?
Aqui, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicionada e integração, já que
é uma variável aleatória contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que obtemos um sucesso na primeira tentativa, sem nenhum insucesso antes. A probabilidade de sucesso em uma única tentativa, dado um valor específico de
, é simplesmente
.
Mas como
é escolhido aleatoriamente no intervalo
, precisamos considerar todas as possíveis valores de
e calcular a probabilidade total de
.
Passo 3
Para isso, utilizamos a probabilidade total. A probabilidade de
é a integral da probabilidade condicional
multiplicada pela função de densidade de
,
, sobre todo o intervalo de
.
Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 4
Sabemos que
, porque é a probabilidade de sucesso na primeira tentativa dado
.
Além disso, como
é escolhido uniformemente no intervalo
, a função de densidade
é constante e igual a 1 nesse intervalo.
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Resposta
A probabilidade de
é
ou 50%.