Certa peça de plástico de 10 cm^3 é considerada defeituosa se aparecerem 2 ou mais defeitos. Os defeitos podem ser por impurezas ou por bolhas. Em média aparecem 0,005 impurezas por 1 cm^3 e 0,3 bolhas por 2 cm^3.
b) Em um grupo de 3 peças qual é a probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa? (R.: 0,5615 )

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre peças de plástico que podem ter defeitos, especificamente impurezas e bolhas. A gente precisa calcular a probabilidade de, em um grupo de 3 peças, ter no máximo uma peça defeituosa. Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos com esse tipo de defeito e usar conceitos de probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando uma peça é considerada defeituosa. Ela tem 2 ou mais defeitos, que podem ser impurezas ou bolhas. Vamos calcular a média de defeitos por peça.

Passo 3

Sabemos que aparecem, em média, 0,005 impurezas por 1 cm³ e 0,3 bolhas por 2 cm³. Como cada peça tem 10 cm³, vamos ajustar essas médias para o volume da peça.
Para impurezas:
lambdaimpurezas = 0,005 times 10 = 0,05
Para bolhas:
lambdabolhas = 0,3 times 102 = 1,5

Passo 4

Agora, somamos as médias de impurezas e bolhas para obter a média total de defeitos por peça:
lambdatotal = 0,05 + 1,5 = 1,55

Passo 5

Vamos modelar o número de defeitos por peça usando a distribuição de Poisson, que é adequada para contar eventos raros. A probabilidade de uma peça ter exatamente $ k $ defeitos é:
k
onde $ \lambda = 1,55 $.

Passo 6

Precisamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa, ou seja, ter 2 ou mais defeitos:
P(defeituosa) = 1 - P(0) - P(1)
Vamos calcular $ P(0) $ e $ P(1) $:
Para $ k = 0 $:
P(0)
Para $ k = 1 $:
P(1)
Então:
k = 0

Passo 7

Agora, queremos a probabilidade de, em 3 peças, ter no máximo uma defeituosa. Isso inclui dois cenários: nenhuma defeituosa ou uma defeituosa.
A distribuição binomial é adequada aqui, onde cada peça tem probabilidade $ p = 0,459 $ de ser defeituosa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
p = 0,459
Para $ k = 0 $:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Para $ k = 1 $:
k = 0

Passo 8

Somamos as probabilidades dos dois cenários para obter a probabilidade total de ter no máximo uma peça defeituosa:
P(no máximo uma defeituosa) = P(0) + P(1) = 0,158 + 0,403 = 0,561 á

Resposta

A probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa em um grupo de 3 peças é aproximadamente 0,5615.

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