Certa peça de plástico de
é considerada defeituosa se aparecerem 2 ou mais defeitos. Os defeitos podem ser por impurezas ou por bolhas. Em média aparecem 0,005 impurezas por
0,3 bolhas por
.
b) Em um grupo de 3 peças qual é a probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa? (R.: 0,5615 )
b) Em um grupo de 3 peças qual é a probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa? (R.: 0,5615 )
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre peças de plástico que podem ter defeitos, especificamente impurezas e bolhas. A gente precisa calcular a probabilidade de, em um grupo de 3 peças, ter no máximo uma peça defeituosa. Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos com esse tipo de defeito e usar conceitos de probabilidade binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando uma peça é considerada defeituosa. Ela tem 2 ou mais defeitos, que podem ser impurezas ou bolhas. Vamos calcular a média de defeitos por peça.
Passo 3
Sabemos que aparecem, em média, 0,005 impurezas por 1 cm³ e 0,3 bolhas por 2 cm³. Como cada peça tem 10 cm³, vamos ajustar essas médias para o volume da peça.
Para impurezas:
Para bolhas:
Passo 4
Agora, somamos as médias de impurezas e bolhas para obter a média total de defeitos por peça:
Passo 5
Vamos modelar o número de defeitos por peça usando a distribuição de Poisson, que é adequada para contar eventos raros. A probabilidade de uma peça ter exatamente $ k $ defeitos é:
onde $ \lambda = 1,55 $.
Passo 6
Precisamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa, ou seja, ter 2 ou mais defeitos:
Vamos calcular $ P(0) $ e $ P(1) $:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Então:
Passo 7
Agora, queremos a probabilidade de, em 3 peças, ter no máximo uma defeituosa. Isso inclui dois cenários: nenhuma defeituosa ou uma defeituosa.
A distribuição binomial é adequada aqui, onde cada peça tem probabilidade $ p = 0,459 $ de ser defeituosa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Passo 8
Somamos as probabilidades dos dois cenários para obter a probabilidade total de ter no máximo uma peça defeituosa:
Resposta
A probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa em um grupo de 3 peças é aproximadamente 0,5615.