Um cilindro de alumínio (E=69 GPa), com diâmetro original de 20 mm e comprimento de 75 mm , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que a carga axial aplicada seja de 5 kN . Determinar:
a) o decréscimo de seu comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro de alumínio que está sendo comprimido, e quer descobrir quanto ele vai encurtar com essa força aplicada. Isso envolve estudar um pouco de Mecânica dos Materiais, especificamente deformação axial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a força aplicada, as propriedades do material e as dimensões do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Módulo de Elasticidade (E): 69 GPa (gigapascals). Esse valor nos diz o quanto o material resiste à deformação.
  • Diâmetro original (D): 20 mm. Isso vai nos ajudar a encontrar a área da seção transversal do cilindro.
  • Comprimento original (L): 75 mm. É o tamanho inicial do cilindro antes da compressão.
  • Carga axial (F): 5 kN (quilonewtons). Essa é a força que está sendo aplicada para comprimir o cilindro.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do cilindro, porque isso é necessário para encontrar a tensão que está sendo aplicada. A fórmula para a área de um círculo é:
A = pi (D2)^2
Substituindo o diâmetro (D = 20 mm):
A = pi (202)^2 = pi (10)^2 = 100pi , mm^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão axial ( sigma = FA ) usando a fórmula:
5 , kN = 5000 , N
Antes de substituir os valores, vamos garantir que as unidades estejam coerentes. A força (F) está em kN, então vamos converter para N:
sigma = 5000 , N100pi , mm^2 approx 5000314.16 approx 15.92 , N/mm^2
Agora, substituindo:

Passo 5

Sabemos que o decréscimo de comprimento ( epsilon = De) pode ser encontrado usando a relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade:
De
Onde:
  • é a deformação (sem unidade)
  • é o comprimento original
  • é o módulo de elasticidade
Rearranjando para encontrar :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores que temos:
  • De
  • (convertendo gigapascals para N/mm²)
Substituindo na fórmula:

Resposta

O comprimento do cilindro diminui aproximadamente 0,0173 mm.

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