Um cilindro de alumínio (E=69 GPa), com diâmetro original de 20 mm e comprimento de 75 mm , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que a carga axial aplicada seja de 5 kN . Determinar:
b) seu novo diâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um cilindro de alumínio que está sendo comprimido, e precisamos descobrir qual será o novo diâmetro dele após a compressão. Vamos usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre Deformação Axial e o Efeito Poisson. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam a carga aplicada, a área original, o módulo de elasticidade e a variação no diâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão axial que está sendo aplicada no cilindro. A tensão axial (σ) é dada pela fórmula:
sigma = PA
Onde:
  • A = pi (20, mm)^24 = pi times 4004 = 100pi, mm^2 (carga aplicada)
  • sigma = 5000, N100pi, mm^2 approx 5000314,16 approx 15,92, MPa (área da seção transversal original)
Vamos calcular a área :
Agora, calculamos a tensão:

Passo 3

Com a tensão axial conhecida, vamos encontrar a deformação axial (ε) usando o Módulo de Elasticidade (E):
epsilon = sigmaE
Dado que epsilon = 15,92, MPa69000, MPa approx 0,00023 :

Passo 4

Agora, utilizamos o Efeito Poisson para determinar a deformação lateral (ε_lateral). O Efeito Poisson nos diz que quando um material é comprimido, ele tende a expandir na direção perpendicular à força aplicada. A relação é dada por:
epsilonlateral = -nu epsilon
Assumindo que o Coeficiente de Poisson (ν) para o alumínio é aproximadamente 0,33:
epsilonlateral = -0,33 times 0,00023 approx -0,000076

Passo 5

Com a deformação lateral, podemos calcular a variação no diâmetro ( De):
De
Onde :

Resposta

O novo diâmetro do cilindro após a compressão é aproximadamente 19,9985 mm.

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