Um cilindro circular reto, de altura
e área de base
, flutua na água, em posição vertical, tendo
de sua altura imersos. Aplica-se axialmente na base superior uma força
, passando o cllindro a ter
de sua altura imersos.
(Dados:
; densidade da água
.)
Determine:
a) a densidade do cilindro;
(Dados:
Determine:
a) a densidade do cilindro;
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cilindro reto de altura
e área da base
que está flutuando na água. Inicialmente,
da altura do cilindro está imersa na água. Depois, aplicamos uma força na base superior que faz com que
da altura fique imersa. Precisamos encontrar a densidade do cilindro. Para resolver isso, vamos usar o princípio da flutuabilidade, que relaciona a densidade do objeto, a densidade do fluido e os volumes envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o princípio da flutuabilidade, também conhecido como Princípio de Arquimedes. Esse princípio afirma que a força de empuxo que atua sobre um objeto imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto. Matemáticamente, podemos escrever:
Onde:
-
é a força de empuxo. -
é a densidade da água. -
é a aceleração da gravidade. -
é o volume de água deslocado.
Passo 3
No equilíbrio inicial, sem nenhuma força adicional aplicada, o peso do cilindro é equilibrado pelo empuxo da água. O peso do cilindro pode ser expresso como:
Onde:
-
é o peso do cilindro. -
é a densidade do cilindro. -
é o volume total do cilindro.
Como o cilindro está flutuando com
de sua altura imersa inicialmente, o volume deslocado é:
Passo 4
Igualando o peso do cilindro ao empuxo da água na posição inicial:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Sabemos que o volume total do cilindro é:
Substituindo na equação:
Passo 5
Podemos cancelar a área
e a altura
dos dois lados:
Sabendo que a densidade da água é
:
Resposta
A densidade do cilindro é
.
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