O cilindro homogêneo tem massa m , comprimento
e raio R. Determine: a)
elemento de integração do momento
. ( 1.0 pt )
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro homogêneo com massa
, comprimento
e raio
. A questão pede para determinar o elemento de integração do momento de inércia
em relação ao eixo
. Isso significa que vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e integração para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo
é:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
ao eixo
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
, o elemento de massa. Como o cilindro é homogêneo, a densidade de massa
é constante e dada por:
Onde
é o volume do cilindro:
Então,
Passo 4
Para integrar sobre o cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas
, onde:
-
varia de 0 a -
varia de 0 a -
varia de 0 a
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Assim, o elemento de massa
é:
Passo 5
Agora, voltando à fórmula do momento de inércia:
Substituindo
:
Resposta
O elemento de integração do momento
é:
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