O cilindro homogêneo tem massa m , comprimento e raio R. Determine: a) elemento de integração do momento . ( 1.0 pt )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro homogêneo com massa , comprimento e raio . A questão pede para determinar o elemento de integração do momento de inércia em relação ao eixo . Isso significa que vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e integração para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo é:
Aqui, é a distância de um elemento de massa ao eixo .

Passo 3

Agora, precisamos expressar , o elemento de massa. Como o cilindro é homogêneo, a densidade de massa é constante e dada por:
Onde é o volume do cilindro:
Então,

Passo 4

Para integrar sobre o cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas , onde:
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Assim, o elemento de massa é:

Passo 5

Agora, voltando à fórmula do momento de inércia:
Substituindo :

Resposta

O elemento de integração do momento é:

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