O cilindro homogêneo tem massa m , comprimento l e raio R. Determine: a) O elemento de integração do momento Ix. ( 1.0 pt )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro homogêneo com massa , comprimento e raio . A questão pede para determinar o elemento de integração do momento de inércia em relação ao eixo . Isso significa que vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e integração para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo Ix = integral r^2 , dm é:
Aqui, é a distância de um elemento de massa ao eixo .

Passo 3

Agora, precisamos expressar rho = mV , o elemento de massa. Como o cilindro é homogêneo, a densidade de massa V = pi R^2 l é constante e dada por:
rho = mpi R^2 l
Onde é o volume do cilindro:
Então,

Passo 4

Para integrar sobre o cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas dV = r , dr , dtheta , dz , onde:
  • dm = rho , dV = rho , r , dr , dtheta , dz varia de 0 a
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Assim, o elemento de massa é:

Passo 5

Agora, voltando à fórmula do momento de inércia:
Ix = integral r^2 , dm
Substituindo Ix = integral r^2 cdot rho , r , dr , dtheta , dz = rho integral r^3 , dr , dtheta , dz :

Resposta

O elemento de integração do momento dIx = rho , r^3 , dr , dtheta , dz é:

Exercícios relacionados