Uma área circular tem um raio externo e um orificio concêntrico de raio interno . Mostre que o momento polar de inércia em relação ao ponto O é

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma área circular com um raio externo e um orifício concêntrico com raio interno . O objetivo é encontrar o momento polar de inércia ( ) em relação ao ponto O dessa região. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula do momento polar de inércia para uma área circular e como aplicar isso a uma área com um orifício (ou anelar).

Passo 2

O momento polar de inércia é uma medida de como a massa (ou área, no caso de áreas planas) está distribuída em relação a um ponto de rotação, neste caso, o ponto O. Para uma área circular completa sem orifício, a fórmula do momento polar de inércia é:
Aqui, é o raio da circunferência.

Passo 3

No entanto, nossa figura não é um círculo completo, mas sim um anel, ou seja, uma região circular com um orifício interno. Para calcular o momento polar de inércia de um anel, subtraímos o momento polar de inércia do orifício do momento polar de inércia da circunferência externa.

Passo 4

Aplicando isso, temos:
Onde:

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação de :

Passo 6

Fatorando o termo comum , obtemos:

Passo 7

Observando a expressão final, notamos que ela corresponde à fórmula que nos foi dada na questão. Portanto, mostramos que o momento polar de inércia em relação ao ponto O é:

Resposta

O momento polar de inércia em relação ao ponto O é:

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