Uma área circular tem um raio externo
e um orificio concêntrico de raio interno
. Mostre que o momento polar de inércia em relação ao ponto O é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma área circular com um raio externo
e um orifício concêntrico com raio interno
. O objetivo é encontrar o momento polar de inércia (
) em relação ao ponto O dessa região. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula do momento polar de inércia para uma área circular e como aplicar isso a uma área com um orifício (ou anelar).
Passo 2
O momento polar de inércia é uma medida de como a massa (ou área, no caso de áreas planas) está distribuída em relação a um ponto de rotação, neste caso, o ponto O. Para uma área circular completa sem orifício, a fórmula do momento polar de inércia é:
Aqui,
é o raio da circunferência.
Passo 3
No entanto, nossa figura não é um círculo completo, mas sim um anel, ou seja, uma região circular com um orifício interno. Para calcular o momento polar de inércia de um anel, subtraímos o momento polar de inércia do orifício do momento polar de inércia da circunferência externa.
Passo 4
Aplicando isso, temos:
Onde:
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação de
:
Passo 6
Fatorando o termo comum
, obtemos:
Passo 7
Observando a expressão final, notamos que ela corresponde à fórmula que nos foi dada na questão. Portanto, mostramos que o momento polar de inércia em relação ao ponto O é:
Resposta
O momento polar de inércia em relação ao ponto O é:
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