Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio
, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância ao eixo do cilindro.
9a
Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
9a
Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância do ponto ao eixo do cilindro. Nosso objetivo é encontrar a densidade linear de carga, ou seja, quanto de carga existe por unidade de comprimento ao longo do eixo do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a densidade linear de carga, representada por
, é a carga total
dividida pelo comprimento
do cilindro. Como o cilindro é infinito, vamos considerar
para facilitar os cálculos. Então, temos:
Passo 3
Para encontrar a carga total
em um comprimento
, precisamos integrar a densidade de carga volumétrica
sobre todo o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Assim, a carga total é:
Passo 4
Substituindo a expressão de
na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
de 0 a
:
Passo 8
Juntando tudo, a carga total
fica:
Passo 9
Como queremos a densidade linear de carga
, substituímos
:
Resposta
A densidade linear de carga do cilindro é
.
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