Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio , encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro.
9a
Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga volumétrica é dada por , onde é uma constante positiva e é a distância do ponto ao eixo do cilindro. Nosso objetivo é encontrar a densidade linear de carga, ou seja, quanto de carga existe por unidade de comprimento ao longo do eixo do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a densidade linear de carga, representada por , é a carga total dividida pelo comprimento do cilindro. Como o cilindro é infinito, vamos considerar para facilitar os cálculos. Então, temos:

Passo 3

Para encontrar a carga total em um comprimento , precisamos integrar a densidade de carga volumétrica sobre todo o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Assim, a carga total é:

Passo 4

Substituindo a expressão de na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a de 0 a :

Passo 8

Juntando tudo, a carga total fica:

Passo 9

Como queremos a densidade linear de carga , substituímos :

Resposta

A densidade linear de carga do cilindro é .

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