Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio R, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por rho=rho0(s / R), onde rho0 é uma constante positiva e s é a distância ao eixo do cilindro.
9a
Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga volumétrica é dada por rho = rho0 ( sR ), onde rho0 é uma constante positiva e s é a distância do ponto ao eixo do cilindro. Nosso objetivo é encontrar a densidade linear de carga, ou seja, quanto de carga existe por unidade de comprimento ao longo do eixo do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a densidade linear de carga, representada por lambda, é a carga total Q dividida pelo comprimento L do cilindro. Como o cilindro é infinito, vamos considerar L = 1 para facilitar os cálculos. Então, temos:
lambda = QL

Passo 3

Para encontrar a carga total Q em um comprimento L, precisamos integrar a densidade de carga volumétrica rho sobre todo o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dV = s , ds , dtheta , dz. Assim, a carga total é:
Q = integral0^L integral0^2pi integral0^R rho , s , ds , dtheta , dz

Passo 4

Substituindo a expressão de rho na integral:
Q = integral0^L integral0^2pi integral0^R rho0 ( sR ) s , ds , dtheta , dz
Simplificando a expressão dentro da integral:
Q = rho0 integral0^L integral0^2pi integral0^R s^2R , ds , dtheta , dz

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a s:
integral0^R s^2R , ds = 1R [ s^33 ]0^R = 1R ( R^33 ) = R^23

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Por fim, integramos em relação a z de 0 a L:
integral0^L dz = L

Passo 8

Juntando tudo, a carga total Q fica:
Q = rho0 cdot R^23 cdot 2pi cdot L = 2pi rho0 R^2 L3

Passo 9

Como queremos a densidade linear de carga lambda = QL, substituímos Q:
lambda = 2pi rho0 R^2 L3L = 2pi rho0 R^23

Resposta

A densidade linear de carga do cilindro é lambda = dfrac2pi rho0 R^23.

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