Uma superfície hemisférica fechada de raio
está imersa em uma região onde atua um campo elétrico uniforme de intensidade
, que aponta perpendicularmente à base do hemisfério e para dentro do mesmo.
3a
Determine o fluxo de campo elétrico através da superfície hemisférica fechada.
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Determine o fluxo de campo elétrico através da superfície hemisférica fechada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma superfície hemisférica fechada de raio
imersa em um campo elétrico uniforme de intensidade
. Esse campo é perpendicular à base do hemisfério e aponta para dentro. Nosso objetivo aqui é determinar o fluxo elétrico através dessa superfície. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo elétrico da eletrostática e entender como o campo elétrico interage com as diferentes partes da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo elétrico
através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico
com o vetor área
:
Como o campo elétrico
é uniforme e perpendicular à base do hemisfério, podemos simplificar essa expressão. A superfície fechada consiste em duas partes: a parte curva do hemisfério e a base plana.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo elétrico em cada uma dessas partes separadamente.
-
Fluxo através da parte curva do hemisfério:
O vetor áreana parte curva é sempre perpendicular à superfície e, portanto, radial. Já o campo é perpendicular à base e direcionado para dentro, formando um ângulo de 90 graus com na parte curva. Como o cosseno de 90 graus é zero, o fluxo através da parte curva é: -
Fluxo através da base plana:
Na base, o vetor áreaé perpendicular à superfície e aponta para fora do hemisfério. Como o campo aponta para dentro, o ângulo entre e é 180 graus, e o cosseno de 180 graus é -1. A área da base é , então o fluxo é:
Passo 4
Agora, somamos os fluxos das duas partes para obter o fluxo total através da superfície fechada:
Resposta
O fluxo elétrico através da superfície hemisférica fechada é
.