Uma superfície hemisférica fechada de raio R está imersa em uma região onde atua um campo elétrico uniforme de intensidade E, que aponta perpendicularmente à base do hemisfério e para dentro do mesmo.
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Determine o fluxo de campo elétrico através da superfície hemisférica fechada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma superfície hemisférica fechada de raio imersa em um campo elétrico uniforme de intensidade . Esse campo é perpendicular à base do hemisfério e aponta para dentro. Nosso objetivo aqui é determinar o fluxo elétrico através dessa superfície. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo elétrico da eletrostática e entender como o campo elétrico interage com as diferentes partes da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo elétrico Phi = integral E cdot dA através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico com o vetor área :
Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular à base do hemisfério, podemos simplificar essa expressão. A superfície fechada consiste em duas partes: a parte curva do hemisfério e a base plana.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico em cada uma dessas partes separadamente.
  1. Fluxo através da parte curva do hemisfério:
    O vetor área Phicurva = 0 na parte curva é sempre perpendicular à superfície e, portanto, radial. Já o campo Phibase = E cdot A = E times pi R^2 times (-1) = -E pi R^2 é perpendicular à base e direcionado para dentro, formando um ângulo de 90 graus com na parte curva. Como o cosseno de 90 graus é zero, o fluxo através da parte curva é:
  2. Fluxo através da base plana:
    Na base, o vetor área é perpendicular à superfície e aponta para fora do hemisfério. Como o campo aponta para dentro, o ângulo entre e é 180 graus, e o cosseno de 180 graus é -1. A área da base é , então o fluxo é:

Passo 4

Agora, somamos os fluxos das duas partes para obter o fluxo total através da superfície fechada:
Phitotal = Phicurva + Phibase = 0 + (-E pi R^2) = -E pi R^2

Resposta

O fluxo elétrico através da superfície hemisférica fechada é .

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