Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio
, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância ao eixo do cilindro. Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
. Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino e infinito com a densidade linear de carga obtida no item (a).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que você precisa fazer. Temos um cilindro isolante infinito com uma carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga varia com a distância ao eixo do cilindro, dada por
. Nosso objetivo é encontrar o vetor campo elétrico
fora do cilindro, ou seja, quando
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
:
No nosso caso, como o cilindro é infinito e a distribuição de carga é simétrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado e de raio
.
Passo 3
Vamos calcular a carga total
dentro da nossa superfície gaussiana. A densidade de carga é
, então a carga por unidade de comprimento (
) do cilindro é:
Resolvendo a integral:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
onde
é o comprimento do cilindro, que vai se cancelar. Igualando ao fluxo pela Lei de Gauss:
Simplificando
:
Assim, isolando
:
Resposta
O vetor campo elétrico no exterior do cilindro (
) é dado por
onde
. Esse resultado coincide com o campo elétrico de um fio retilíneo fino e infinito com densidade linear de carga
.
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