Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio , encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do cilindro. Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro . Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino e infinito com a densidade linear de carga obtida no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que você precisa fazer. Temos um cilindro isolante infinito com uma carga distribuída de forma não uniforme. A densidade de carga varia com a distância ao eixo do cilindro, dada por . Nosso objetivo é encontrar o vetor campo elétrico fora do cilindro, ou seja, quando . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
No nosso caso, como o cilindro é infinito e a distribuição de carga é simétrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado e de raio .

Passo 3

Vamos calcular a carga total dentro da nossa superfície gaussiana. A densidade de carga é , então a carga por unidade de comprimento ( ) do cilindro é:
Resolvendo a integral:

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
onde é o comprimento do cilindro, que vai se cancelar. Igualando ao fluxo pela Lei de Gauss:
Simplificando :
Assim, isolando :

Resposta

O vetor campo elétrico no exterior do cilindro ( ) é dado por
onde . Esse resultado coincide com o campo elétrico de um fio retilíneo fino e infinito com densidade linear de carga .

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