Um cilindro de massa
rola sobre uma superfície horizontal lisa. Uma corda é enrolada em um carretel muito leve e concêntrico ao cilindro, como mostrado na figura. O cilindro está em repouso quando uma força horizontal
é aplicada na extremidade livre da corda. O raio do cilindro é R e o raio do carretel é r . Considere
e use
.
Considerando que
, calcule a máxima força
que não fará o cilindro deslizar, e para esse valor de P, calcule as acelerações angular e linear do cilindro.
Considerando que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de massa
que está rolando sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda está enrolada em um carretel de raio
, que está alinhado com o cilindro de raio
. A força horizontal
é puxada na extremidade da corda para fazer o cilindro se mover. Queremos descobrir qual é a força máxima
que podemos aplicar sem que o cilindro deslize e, para esse valor de
, calcular as acelerações angular e linear do cilindro. Para isso, vamos usar a matéria de dinâmica de rotação e as leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro rolar sem deslizar. Isso significa que a velocidade linear do centro de massa do cilindro está ligada à sua velocidade angular pela relação
, onde
é a velocidade linear e
é a velocidade angular. Além disso, a aceleração linear
e a aceleração angular
também estão relacionadas por
.
Passo 3
Vamos identificar as forças que atuam no cilindro. Temos:
- A força aplicada
na corda. - A força de atrito
que impede o deslizamento. - A força peso
para baixo. - A força normal
para cima.
Como a superfície é horizontal e sem atrito além da força
que está nos impedindo de deslizar, a força normal
é igual ao peso, ou seja,
.
Passo 4
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do cilindro. Na direção horizontal, temos:
Onde
é a aceleração linear do cilindro.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação do cilindro. O torque total sobre o cilindro é devido à força
e à força de atrito
. O torque causado pela força
é
e o torque causado pela força de atrito é
. A equação do torque é:
Onde
é o momento de inércia do cilindro e
é a aceleração angular.
Passo 6
Para um cilindro sólido, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
Substituindo na equação do torque:
Passo 7
Lembrando que
, podemos substituir
por
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 8
Agora temos duas equações:
Queremos resolver para
e
. Vamos primeiro expressar
da primeira equação:
Passo 9
Substituindo
na segunda equação:
Distribuindo:
Reorganizando os termos com
:
Simplificando o lado direito:
Passo 10
Agora, vamos resolver para
em termos de
:
Note que
é negativo, então podemos eliminar o sinal negativo:
Passo 11
Vamos agora considerar a condição máxima para que o cilindro não deslize. A força de atrito máxima é dada por:
Isso ocorre quando
.
Passo 12
Voltando à primeira equação
, substituindo
por
:
Queremos encontrar
em termos de
:
Passo 13
Agora, temos duas expressões para
:
Vamos igualar as duas expressões para resolver para
:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 14
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o lado direito:
Passo 15
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com
:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 16
Resolvendo para
:
Simplificando os sinais:
Passo 17
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Calculando o denominador:
Aplicando na equação de
:
Calculando
:
Substituindo:
Calculando o numerador:
Então:
Como a aceleração não pode ser negativa nesse contexto, interpretamos o módulo:
Resposta
A força máxima
que não fará o cilindro deslizar é aproximadamente
. Para esse valor de
, as acelerações são:
- Aceleração linear:
- Aceleração angular: