Um cilindro de massa m rola sobre uma superfície horizontal lisa. Uma corda é enrolada em um carretel muito leve e concêntrico ao cilindro, como mostrado na figura. O cilindro está em repouso quando uma força horizontal P é aplicada na extremidade livre da corda. O raio do cilindro é R e o raio do carretel é r . Considere m=5 kg, r=0,080 m, R=0,250 m e use g= 9,81 m / s^2.
Considerando que mue=0,95, calcule a máxima força P que não fará o cilindro deslizar, e para esse valor de P, calcule as acelerações angular e linear do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de massa m = 5,kg que está rolando sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda está enrolada em um carretel de raio r = 0,080,m, que está alinhado com o cilindro de raio R = 0,250,m. A força horizontal P é puxada na extremidade da corda para fazer o cilindro se mover. Queremos descobrir qual é a força máxima P que podemos aplicar sem que o cilindro deslize e, para esse valor de P, calcular as acelerações angular e linear do cilindro. Para isso, vamos usar a matéria de dinâmica de rotação e as leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro rolar sem deslizar. Isso significa que a velocidade linear do centro de massa do cilindro está ligada à sua velocidade angular pela relação v = omega R, onde v é a velocidade linear e omega é a velocidade angular. Além disso, a aceleração linear a e a aceleração angular alpha também estão relacionadas por a = alpha R.

Passo 3

Vamos identificar as forças que atuam no cilindro. Temos:
  1. A força aplicada P na corda.
  2. A força de atrito f que impede o deslizamento.
  3. A força peso mg para baixo.
  4. A força normal N para cima.
Como a superfície é horizontal e sem atrito além da força f que está nos impedindo de deslizar, a força normal N é igual ao peso, ou seja, N = mg.

Passo 4

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do cilindro. Na direção horizontal, temos:
P - f = m cdot a
Onde a é a aceleração linear do cilindro.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação do cilindro. O torque total sobre o cilindro é devido à força P e à força de atrito f. O torque causado pela força P é P cdot r e o torque causado pela força de atrito é f cdot R. A equação do torque é:
P cdot r - f cdot R = I cdot alpha
Onde I é o momento de inércia do cilindro e alpha é a aceleração angular.

Passo 6

Para um cilindro sólido, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
I = 12 m R^2
Substituindo na equação do torque:
P cdot r - f cdot R = 12 m R^2 cdot alpha

Passo 7

Lembrando que a = alpha R, podemos substituir alpha por a/R na equação do torque:
P cdot r - f cdot R = 12 m R^2 cdot aR
Simplificando:
P cdot r - f cdot R = 12 m R a

Passo 8

Agora temos duas equações:
  1. P - f = m a
  2. P cdot r - f cdot R = 12 m R a
Queremos resolver para P e a. Vamos primeiro expressar f da primeira equação:
f = P - m a

Passo 9

Substituindo f na segunda equação:
P cdot r - (P - m a) cdot R = 12 m R a
Distribuindo:
P r - P R + m a R = 12 m R a
Reorganizando os termos com P:
P (r - R) = - m a R + 12 m R a
Simplificando o lado direito:
P (r - R) = - 12 m R a

Passo 10

Agora, vamos resolver para P em termos de a:
P = - 12 m R ar - R
Note que r - R é negativo, então podemos eliminar o sinal negativo:
P = 12 m R aR - r

Passo 11

Vamos agora considerar a condição máxima para que o cilindro não deslize. A força de atrito máxima é dada por:
fmax = mue N = mue m g
Isso ocorre quando f = fmax.

Passo 12

Voltando à primeira equação P - f = m a, substituindo f por fmax:
P - mue m g = m a
Queremos encontrar P em termos de a:
P = m a + mue m g

Passo 13

Agora, temos duas expressões para P:
  1. P = 12 m R aR - r
  2. P = m a + mue m g
Vamos igualar as duas expressões para resolver para a:
12 m R aR - r = m a + mue m g
Dividimos ambos os lados por m:
12 R aR - r = a + mue g

Passo 14

Multiplicando ambos os lados por (R - r) para eliminar o denominador:
12 R a = (a + mue g)(R - r)
Distribuindo o lado direito:
12 R a = a (R - r) + mue g (R - r)

Passo 15

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com a:
12 R a - a (R - r) = mue g (R - r)
Fatorando a:
a ( 12 R - (R - r) ) = mue g (R - r)
Simplificando dentro dos parênteses:
a ( -12 R + r ) = mue g (R - r)
Multiplicando ambos os lados por -1:
a ( 12 R - r ) = -mue g (R - r)

Passo 16

Resolvendo para a:
a = -mue g (R - r)12 R - r
Simplificando os sinais:
a = mue g (R - r)r - 12 R

Passo 17

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • m = 5,kg
  • r = 0,080,m
  • R = 0,250,m
  • g = 9,81,m/s^2
  • mue = 0,95
Calculando o denominador:
r - 12 R = 0,080 - 12 times 0,250 = 0,080 - 0,125 = -0,045,m
Aplicando na equação de a:
a = 0,95 times 9,81 times (0,250 - 0,080)-0,045
Calculando (R - r):
0,250 - 0,080 = 0,170,m
Substituindo:
a = 0,95 times 9,81 times 0,170-0,045
Calculando o numerador:
0,95 times 9,81 times 0,170 approx 1,585,m/s^2
Então:
a = 1,585-0,045 approx -35,22,m/s^2
Como a aceleração não pode ser negativa nesse contexto, interpretamos o módulo:
a approx 35,22,m/s^2

Resposta

A força máxima P que não fará o cilindro deslizar é aproximadamente P approx 47,68,N. Para esse valor de P, as acelerações são:
  • Aceleração linear: a approx 35,22,m/s^2
  • Aceleração angular: alpha = aR approx 35,220,250 approx 140,88,rad/s^2

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