Em um cilindro de um motor de automóvel, logo após a combustão, o gás é confinado a um volume de 50,0 cm^3 e tem uma pressão inicial de 3,00 x 10^6 Pa. O pistão se move para fora até um volume final de 300 cm^3 e o gás se expande sem perda de energia por calor.
(a) Se gamma=1,4 para o gás, qual é a pressão final?
(b) Quanto trabalho é feito pelo gás em expansão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com um problema de expansão adiabática de um gás dentro de um cilindro de motor. O que isso significa? Que o gás está se expandindo sem trocar calor com o ambiente. Vamos precisar usar a equação das transformações adiabáticas e entender como a pressão e o volume mudam quando isso acontece. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que foi dado:
  • Volume inicial,
  • Pressão inicial,
  • Volume final,
  • Coeficiente adiabático,
Queremos encontrar a pressão final e o trabalho feito pelo gás durante essa expansão.

Passo 3

Vamos converter os volumes de centímetros cúbicos para metros cúbicos, porque a unidade padrão de pressão no SI é Pascal, que usa metros cúbicos.
Vi = 50,0 , cm^3 = 50,0 times 10^-6 , m^3
Vf = 300 , cm^3 = 300 times 10^-6 , m^3

Passo 4

Para uma expansão adiabática, a relação entre pressão e volume é dada por:
Pi Vi^gamma = Pf Vf^gamma
Vamos isolar Pf = Pi ( ViVf )^gamma :

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
Pf = 3,00 times 10^6 , Pa times ( 50,0 times 10^-6 , m^3300 times 10^-6 , m^3 )^1,4
Simplificando os volumes:
50,0 times 10^-6300 times 10^-6 = 50,0300 = 16
Então,
Pf = 3,00 times 10^6 , Pa times ( 16 )^1,4

Passo 6

Calculando ln( 16 ) = -ln(6) approx -1,7918 :
Primeiro, calculamos o logaritmo:
-1,7918 times 1,4 approx -2,5085
Multiplicando pelo e^-2,5085 approx 0,0818 :
Agora, aplicamos a exponenciação:

Passo 7

Voltando à equação da pressão final:
Pf = 3,00 times 10^6 , Pa times 0,0818 approx 2,45 times 10^5 , Pa

Passo 8

Agora, vamos calcular o trabalho feito pelo gás durante a expansão adiabática. A fórmula para o trabalho em uma transformação adiabática é:
W = Pi Vi - Pf Vfgamma - 1

Passo 9

Substituindo os valores que já temos:
W = 3,00 times 10^6 , Pa times 50,0 times 10^-6 , m^3 - 2,45 times 10^5 , Pa times 300 times 10^-6 , m^31,4 - 1
Calculando cada termo:
3,00 times 10^6 times 50,0 times 10^-6 = 150 , J
2,45 times 10^5 times 300 times 10^-6 = 73,5 , J
Então,
W = 150 - 73,50,4 = 76,50,4 = 191,25 , J

Resposta

(a) A pressão final é aproximadamente .
(b) O trabalho feito pelo gás durante a expansão é de aproximadamente .

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