Cinquenta e cinco por cento dos adultos dizem que preferem a castanha de caju. Você seleciona, aleatoriamente, 12 adultos e pergunta qual seria o tipo de castanha que eles mais gostam. Encontre a probabilidade do número dos amantes das castanhas de caju ser: ( 2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que 55% dos adultos preferem castanha de caju. A gente vai selecionar aleatoriamente 12 adultos e quer saber qual é a probabilidade de exatamente 2 dessas pessoas serem amantes de castanha de caju.
Para resolver isso, vamos usar o teorema binomial, que é ótimo para calcular probabilidades em situações com apenas dois resultados possíveis, como “gosta” ou “não gosta”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes que precisamos para a fórmula binomial:
  • n = número de tentativas (neste caso, 12 adultos)
  • k = número de sucessos desejados (neste caso, 2 amantes de castanha de caju)
  • p = probabilidade de sucesso em uma única tentativa (55%, ou 0,55)
  • q = probabilidade de fracasso em uma única tentativa (100% - 55% = 45%, ou 0,45)

Passo 3

A fórmula do teorema binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n - k
Aqui, binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial:
binom122 = 12!2!(12-2)! = 12 times 112 times 1 = 66
  1. Probabilidade dos sucessos:
p^k = 0,55^2 = 0,3025
  1. Probabilidade dos fracassos:
q^n - k = 0,45^10 approx 0,0003405063

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo junto:
P(X = 2) = 66 times 0,3025 times 0,0003405063 approx 0,0068

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 dos 12 adultos preferirem castanha de caju é de aproximadamente 0,68%.

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