Bernoulli: Qual é a relação entre uma distribuição de Bernoulli e uma distribuição binomial? Dê um exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer entender qual é a relação entre a distribuição de Bernoulli e a distribuição binomial, além de ver um exemplo prático. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas distribuições representa na teoria das probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição de Bernoulli. Essa é uma distribuição de probabilidade muito simples que descreve apenas dois possíveis resultados: sucesso (geralmente representado por 1) ou fracasso (representado por 0). Por exemplo, ao lançar uma moeda, dar cara poderia ser considerado sucesso e coroa, fracasso. A probabilidade de sucesso é $ p $ e a de fracasso é $ 1 - p $.

Passo 3

Agora, a distribuição binomial é como uma extensão da Bernoulli. Enquanto a Bernoulli trata de um único experimento com dois resultados, a binomial considera uma sequência de $ n $ experimentos independentes, cada um com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso) e a mesma probabilidade de sucesso $ p $ em cada um. Ela nos dá a probabilidade de ter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

A relação entre elas é que a distribuição binomial é composta por várias distribuições de Bernoulli. Ou seja, se você fizer $ n $ experimentos de Bernoulli independentes, a soma dos sucessos desses experimentos segue uma distribuição binomial. Basicamente, a binomial conta quantas vezes você teve sucesso em múltiplas tentativas de Bernoulli.

Passo 5

Vamos a um exemplo: Imagine que você tem uma moeda justa (probabilidade de dar cara $ p = 0,5 $). Se você a lançar uma vez, isso segue uma distribuição de Bernoulli. Agora, se você lançar essa moeda 10 vezes e quiser saber a probabilidade de dar exatamente 6 caras, você usaria a distribuição binomial com $ n = 10 $ e $ p = 0,5 $.

Resposta

A distribuição binomial é a soma de várias distribuições de Bernoulli independentes. Por exemplo, ao lançar uma moeda 10 vezes (cada lançamento é uma distribuição de Bernoulli), a probabilidade de obter exatamente 6 caras segue uma distribuição binomial com $ n = 10 $ e $ p = 0,5 $.

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