Em uma circunferência são traçados 6 pontos distintos, quantos triângulos podem ser formados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos 6 pontos distintos numa circunferência e queremos saber quantos triângulos podemos formar com esses pontos. O conteúdo que vamos usar aqui é o de combinações, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto sem importar a ordem. Para resolver, vamos precisar calcular quantas combinações de 3 pontos podemos fazer com os 6 disponíveis.

Passo 2

Primeiro, entendamos que para formar um triângulo, precisamos escolher 3 pontos distintos. Já que os 6 pontos estão numa circunferência, qualquer trio de pontos vai formar um triângulo válido (nenhum trio fica alinhado, o que seria um problema).

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de combinações para calcular quantas maneiras podemos escolher 3 pontos dentre os 6:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o número total de elementos (no caso, 6 pontos),
  • $ k $ é o número de elementos que queremos escolher (3 pontos para formar o triângulo),
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
C(6, 3) = 6!3!(6 - 3)! = 6!3! cdot 3!
Vamos calcular os fatoriais:
6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720
3! = 3 times 2 times 1 = 6
Substituindo de volta:
C(6, 3) = 7206 times 6 = 72036 = 20

Passo 5

Portanto, existem 20 maneiras diferentes de escolher 3 pontos entre os 6 disponíveis para formar um triângulo.

Resposta

Podemos formar 20 triângulos com os 6 pontos distintos na circunferência.

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