Uma circunferência tem o centro na origem e passa pelo ponto (10, 6). Assinale a equação que representa essa circunferência.
(A) x + y = 16
(B) x ^ 2 + y ^ 2 = 36
© x ^ 2 - y ^ 2 = 64
(D) x ^ 2 + y ^ 2 = 100
(E) x ^ 2 + y ^ 2 = 136

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma circunferência cujo centro está na origem do plano cartesiano e que passa pelo ponto (10, 6). O conteúdo aqui é sobre geometria analítica, especificamente sobre equações de circunferências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a fórmula de uma circunferência e como encontrar o raio usando um ponto que está na circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da circunferência. Se o centro da circunferência é o ponto (h, k) e o raio é r, a equação da circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
No nosso caso, o centro está na origem, que é (0, 0). Substituindo na fórmula, fica:
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2 implies x^2 + y^2 = r^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor do raio r. Sabemos que a circunferência passa pelo ponto (10, 6). Isso significa que as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação da circunferência. Vamos substituir x = 10 e y = 6 na equação:
10^2 + 6^2 = r^2 implies 100 + 36 = r^2 implies 136 = r^2

Passo 4

Encontramos que r^2 = 136. Então, a equação da circunferência fica:
x^2 + y^2 = 136

Resposta

A equação que representa a circunferência é x^2 + y^2 = 136. Logo, a alternativa correta é a letra E.

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