Classifique cada sentença abaixo em verdadeira(V) ou falsa (F). (f) ( ) Se
é uma amostra aleatória simples de uma população
com média
e variância
, então a estatística
, segue uma distribuição aproximadamente normal padrão quando
tende ao infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar uma sentença como verdadeira (V) ou falsa (F). O enunciado fala sobre uma amostra aleatória simples $ X_{1}, X_{2}, ···, X_{n} $ de uma população com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. A estatística em questão é $ \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente o Teorema Central do Limite, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que a estatística $ \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $ representa. Aqui, $ \bar{X} $ é a média da amostra, $ \mu $ é a média da população, $ \sigma $ é o desvio padrão da população e $ n $ é o tamanho da amostra. Essa expressão está padronizando a diferença entre a média da amostra e a média da população.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema Central do Limite (TCL). O TCL afirma que, para amostras grandes ($ n $ grande), a distribuição da média amostral $ \bar{X} $ tende a ser aproximadamente normal, independentemente da distribuição original da população, desde que a população tenha média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $.
Passo 4
Com base no TCL, a média amostral $ \bar{X} $ segue aproximadamente uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ quando $ n $ é grande. Isso significa que a estatística $ \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $ está padronizando $ \bar{X} $, transformando-a em uma variável com média 0 e desvio padrão 1, ou seja, uma distribuição normal padrão.
Passo 5
Então, conforme $ n $ tende ao infinito, essa estatística realmente segue uma distribuição aproximadamente normal padrão, conforme afirmado na sentença.
Resposta
(V) Verdadeira.