Uma concessionária de energia elétrica informa que 52 % das unidades domiciliares atendidas por ela estão classificadas como sendo de Baixa Renda. Selecionada uma amostra casual simples de 120 domicílios assistidos pela concessionária. Determine a probabilidade de que pelo menos 78 domicílios, dentre os selecionados, sejam de Baixa Renda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos fala que uma concessionária de energia elétrica informa que 52% das residências que atende são de Baixa Renda. A gente vai pegar uma amostra aleatória simples de 120 domicílios dessa concessionária e precisa descobrir qual é a probabilidade de que pelo menos 78 desses domicílios sejam de Baixa Renda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade e Distribuição Binomial. Probabilidade é uma medida que expressa a chance de um evento ocorrer. A Distribuição Binomial é usada quando temos apenas dois resultados possíveis em um experimento repetido várias vezes, como “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, “sucesso” seria um domicílio ser de Baixa Renda, e “fracasso” o contrário.

Passo 3

Os parâmetros da Distribuição Binomial são:
  • n: número de tentativas (no nosso caso, 120 domicílios).
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (52%, ou 0,52).
  • q: probabilidade de fracasso em cada tentativa (1 - p = 0,48).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k q^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

Mas aqui, queremos a probabilidade de pelo menos 78 domicílios serem de Baixa Renda, ou seja, $ P(X \geq 78) $. Calcular isso diretamente com a fórmula binomial seria bem trabalhoso, já que teríamos que somar as probabilidades de $ X = 78 $ até $ X = 120 $.

Passo 5

Para facilitar, vamos usar a aproximação normal à Distribuição Binomial. Essa técnica é válida quando o número de tentativas $ n $ é grande e $ p $ não está muito perto de 0 ou 1, o que é o nosso caso (n = 120 e p = 0,52).

Passo 6

Primeiro, calculamos a média (µ) e o desvio padrão (σ) da Distribuição Binomial:
mu = n times p = 120 times 0,52 = 62,4
sigma = raizn times p times q = raiz120 times 0,52 times 0,48 approx 5,3

Passo 7

Agora, queremos encontrar $ P(X \geq 78) $. Usando a aproximação normal, precisamos aplicar a correção de continuidade. Isso significa ajustar o valor para melhorar a precisão da aproximação. Então, em vez de 78, usamos 77,5:
P(X >= 78)

Passo 8

Calculamos o z-score, que nos diz quantos desvios padrão o valor está da média:
z = X - musigma = 77,5 - 62,45,3 approx 2,83

Passo 9

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente ao z-score de 2,83. A tabela nos dá $ P(Z < 2,83) $, mas como queremos $ P(Z > 2,83) $, fazemos:
P(Z < 2,83)

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 78 domicílios, dentre os selecionados, sejam de Baixa Renda é aproximadamente 0,23%.

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