Uma concessionária de energia elétrica informa que
das unidades domiciliares atendidas por ela estão classificadas como sendo de Baixa Renda. Selecionada uma amostra casual simples de 120 domicílios assistidos pela concessionária. Determine a probabilidade de que pelo menos 78 domicílios, dentre os selecionados, sejam de Baixa Renda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos fala que uma concessionária de energia elétrica informa que 52% das residências que atende são de Baixa Renda. A gente vai pegar uma amostra aleatória simples de 120 domicílios dessa concessionária e precisa descobrir qual é a probabilidade de que pelo menos 78 desses domicílios sejam de Baixa Renda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade e Distribuição Binomial. Probabilidade é uma medida que expressa a chance de um evento ocorrer. A Distribuição Binomial é usada quando temos apenas dois resultados possíveis em um experimento repetido várias vezes, como “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, “sucesso” seria um domicílio ser de Baixa Renda, e “fracasso” o contrário.
Passo 3
Os parâmetros da Distribuição Binomial são:
- n: número de tentativas (no nosso caso, 120 domicílios).
- p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (52%, ou 0,52).
- q: probabilidade de fracasso em cada tentativa (1 - p = 0,48).
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 4
Mas aqui, queremos a probabilidade de pelo menos 78 domicílios serem de Baixa Renda, ou seja, $ P(X \geq 78) $. Calcular isso diretamente com a fórmula binomial seria bem trabalhoso, já que teríamos que somar as probabilidades de $ X = 78 $ até $ X = 120 $.
Passo 5
Para facilitar, vamos usar a aproximação normal à Distribuição Binomial. Essa técnica é válida quando o número de tentativas $ n $ é grande e $ p $ não está muito perto de 0 ou 1, o que é o nosso caso (n = 120 e p = 0,52).
Passo 6
Primeiro, calculamos a média (µ) e o desvio padrão (σ) da Distribuição Binomial:
Passo 7
Agora, queremos encontrar $ P(X \geq 78) $. Usando a aproximação normal, precisamos aplicar a correção de continuidade. Isso significa ajustar o valor para melhorar a precisão da aproximação. Então, em vez de 78, usamos 77,5:
Passo 8
Calculamos o z-score, que nos diz quantos desvios padrão o valor está da média:
Passo 9
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente ao z-score de 2,83. A tabela nos dá $ P(Z < 2,83) $, mas como queremos $ P(Z > 2,83) $, fazemos:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 78 domicílios, dentre os selecionados, sejam de Baixa Renda é aproximadamente 0,23%.