Uma concessionária de energia elétrica informa que
das unidades domiciliares atendidas por ela estão classificadas como sendo de Baixa Renda. Selecionada uma amostra casual simples de 120 domicílios assistidos pela concessionária. Obtenha a probabilidade de que a proporção de domicílios de Baixa Renda, na amostra, pertença ao intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A concessionária disse que 52% das residências que atendem são de baixa renda. A gente vai pegar uma amostra aleatória de 120 casas e quer saber qual a chance de que, nessa amostra, a proporção de casas de baixa renda esteja entre 50% e 54%.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal aplicada às proporções. Precisamos calcular a média e o desvio padrão da proporção amostral e então usar a distribuição normal para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da proporção amostral. A média da proporção ($ \mu_p
p $):
Agora, vamos calcular o desvio padrão da proporção amostral ($ \sigma_p $). A fórmula para isso é:
Onde:
- $ p = 0,52 $ (proporção populacional)
- $ n = 120 $ (tamanho da amostra)
Calculando:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a proporção amostral esteja entre 0,50 e 0,54. Para isso, vamos padronizar esses valores usando o escore z, que indica quantos desvios padrão o valor está da média.
A fórmula para o escore z é:
Onde $ X $ é o valor da proporção amostral.
Vamos calcular para $ X = 0,50 $ e $ X = 0,54 $:
Para $ X = 0,50 $:
Para $ X = 0,54 $:
Passo 4
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
Para $ z_1 = -0,4386 $: a área à esquerda é aproximadamente 0,3304.
Para $ z_2 = 0,4386 $: a área à esquerda é aproximadamente 0,6696.
Para encontrar a probabilidade de que a proporção esteja entre 0,50 e 0,54, subtraímos a probabilidade menor da maior:
Resposta
A probabilidade de que a proporção de domicílios de Baixa Renda na amostra esteja entre 50% e 54% é aproximadamente 33,92%.