Uma concessionária de energia elétrica informa que 52 % das unidades domiciliares atendidas por ela estão classificadas como sendo de Baixa Renda. Selecionada uma amostra casual simples de 120 domicílios assistidos pela concessionária. Obtenha a probabilidade de que a proporção de domicílios de Baixa Renda, na amostra, pertença ao intervalo [0,50 ; 0,54].

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A concessionária disse que 52% das residências que atendem são de baixa renda. A gente vai pegar uma amostra aleatória de 120 casas e quer saber qual a chance de que, nessa amostra, a proporção de casas de baixa renda esteja entre 50% e 54%.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal aplicada às proporções. Precisamos calcular a média e o desvio padrão da proporção amostral e então usar a distribuição normal para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da proporção amostral. A média da proporção ($ \mu_p mup éàçã p $):
p
Agora, vamos calcular o desvio padrão da proporção amostral ($ \sigma_p $). A fórmula para isso é:
mup = p = 0,52
Onde:
  • $ p = 0,52 $ (proporção populacional)
  • $ n = 120 $ (tamanho da amostra)
Calculando:
sigmap

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a proporção amostral esteja entre 0,50 e 0,54. Para isso, vamos padronizar esses valores usando o escore z, que indica quantos desvios padrão o valor está da média.
A fórmula para o escore z é:
z = X - mupsigmap
Onde $ X $ é o valor da proporção amostral.
Vamos calcular para $ X = 0,50 $ e $ X = 0,54 $:
Para $ X = 0,50 $:
X
Para $ X = 0,54 $:
X = 0,50

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
Para $ z_1 = -0,4386 $: a área à esquerda é aproximadamente 0,3304.
Para $ z_2 = 0,4386 $: a área à esquerda é aproximadamente 0,6696.
Para encontrar a probabilidade de que a proporção esteja entre 0,50 e 0,54, subtraímos a probabilidade menor da maior:
z1 = -0,4386

Resposta

A probabilidade de que a proporção de domicílios de Baixa Renda na amostra esteja entre 50% e 54% é aproximadamente 33,92%.

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