Um cliente tomou como empréstimo a importância de 3500,00 de uma instituição financeira, por determinado período, com taxa de juro simples de 88,8% a.a, pagando ao final 5313,00. Quantos meses durou esse empréstimo, considerando que cada mês tem 30 dias?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Um cliente pegou um empréstimo de R$3500,00 com uma taxa de juros simples de 88,8% ao ano. No final, ele pagou R$5313,00. Queremos descobrir quanto tempo esse empréstimo durou, em meses, considerando que cada mês tem 30 dias.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de juros simples. A fórmula que vamos utilizar é:
Onde:
- $ J $ é o valor dos juros,
- $ P $ é o principal ou valor inicial do empréstimo,
- $ i $ é a taxa de juros por período,
- $ t $ é o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada letra representa no nosso problema:
- $ P = R$3500,00 $ (valor do empréstimo),
- A taxa de juros anual $ i_{anual} = 88,8% $ ou 0,888 em decimal,
- O valor total pago ao final $ M = R$5313,00 $.
Queremos encontrar o tempo $ t $ em meses.
Passo 3
Como estamos trabalhando com juros simples, o valor total pago $ M $ é a soma do principal mais os juros:
Substituindo a fórmula dos juros simples:
Passo 4
Vamos isolar o tempo $ t $. Primeiro, subtraímos $ P $ de ambos os lados:
Então, isolamos $ t $:
Passo 5
Agora, é só substituir os valores que temos na fórmula. Mas atenção: a taxa de juros está anual e queremos o tempo em meses. Precisamos converter a taxa anual para mensal.
Como cada ano tem 360 dias (considerando 12 meses de 30 dias), a taxa mensal $ i_{mensal} $ é:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do tempo:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 7
Calculando o denominador:
Agora, dividimos:
Resposta
O empréstimo durou aproximadamente 7 meses.