O coeficiente de amortecimento é outro parâmetro crítico em sistemas de segunda ordem em controle de processos industriais, pois controla a rapidez com que a resposta transitória atinge o estado estacionário. Um processo tem a seguinte função de transferência: Y ( s ) U ( s ) = 10^9 s^2 + 4 s + 1 O coeficiente de amortecimento ζ é:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de transferência de um sistema de segunda ordem, que é muito comum em controle de processos industriais. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre coeficiente de amortecimento (ζ), que nos diz quão rápido a resposta do sistema se estabiliza após uma mudança. Para resolver isso, vamos precisar comparar a função de transferência dada com a forma padrão de uma função de segundo grau e identificar os parâmetros necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função de transferência que foi dada:
Y(s)U(s) = 10^9s^2 + 4s + 1
Aqui, $ Y(s) $ é a saída do sistema e $ U(s) $ é a entrada. A gente precisa comparar essa expressão com a forma padrão de uma função de segunda ordem:
Y(s)
Onde:
  • $ K $ é o ganho do sistema,
  • $ ζ $ é o coeficiente de amortecimento,
  • $ ω_n $ é a frequência natural.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes na função dada e na forma padrão. Na função dada, o denominador é $ s^2 + 4s + 1 $. Comparando com a forma padrão $ s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2 $, podemos ver que:
  • $ 2ζω_n = 4 $
  • $ ω_n^2 = 1 $

Passo 4

Vamos resolver para $ ω_n $ primeiro. Da equação $ ω_n^2 = 1 $:
ωn
Agora que temos $ ω_n $, podemos encontrar $ ζ $ usando a primeira equação $ 2ζω_n = 4 $:
ωn^2 = 1

Passo 5

Então, o coeficiente de amortecimento $ ζ $ é 2. Isso significa que o sistema é superamortecido, ou seja, ele retorna ao estado estacionário sem oscilações, mas de forma mais lenta comparada a um sistema criticamente amortecido.

Resposta

O coeficiente de amortecimento $ ζ $ é 2.

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