O comitê de executivos de uma plataforma de streaming decide manter a produção de uma série se ela for assistida por ao menos 50% dos seus assinantes. Uma amostra dos 600 assinantes é escolhida aleatoriamente e estes são acompanhados ao longo de 12 meses. A tabela abaixo traz o número de assinantes Xi que assistiu à série pela primeira vez em cada um dos meses (nenhum assinante é contabilizado mais de uma vez):
Mês: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Acumulado
Assinantes: l|cccccccccccc|c hline Mês: i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & Acumulado Assinantes: $Xi$ & 20 & 25 & 19 & 24 & 17 & 27 & 29 & 19 & 26 & 27 & 25 & 24 & $sumi=1^12 Xi=282$ hline 20 25 19 24 17 27 29 19 26 27 25 24 95%
Construa um intervalo de confiança não-conservativo de para a proporção populacional de assinantes que assistiram à série.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício onde o comitê de executivos de uma plataforma de streaming quer continuar produzindo uma série se pelo menos 50% dos assinantes assistirem a ela. Para verificar isso, eles fizeram uma amostra de 600 assinantes e acompanharam quantos assistiram à série pela primeira vez em cada um dos 12 meses. No total, 282 assinantes assistiram à série nesse período.
Hoje, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção de assinantes que assistiram à série na população toda. Isso vai ajudar a estimar se a porcentagem na amostra (47%) é representativa da população geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a proporção amostral. Isso é simplesmente o número de assinantes que assistiram à série dividido pelo total de assinantes na amostra.
p = Número de assinantes que assistiramTotal de assinantes na amostra = 282600 = 0,47 ú
Então, a proporção amostral é 0,47 ou 47%.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quão precisa é a estimativa da proporção amostral em relação à proporção verdadeira da população.
A fórmula do erro padrão para uma proporção é:
SE = raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção amostral (0,47)
  • n é o tamanho da amostra (600)
Vamos calcular:
SE = raiz0,47 times (1 - 0,47)600 = raiz0,47 times 0,53600 = raiz0,2491600 approx raiz0,0004152 approx 0,02038
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,02038.

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança, precisamos encontrar o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 95%. Isso geralmente é feito usando a distribuição normal padrão (z).
Para um intervalo de confiança de 95%, o valor crítico z^* é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que a nossa estimativa esteja dentro de 1,96 desvios padrão da média amostral.

Passo 5

Agora, vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
p pm z^* times SE
Substituindo os valores que já calculamos:
0,47 pm 1,96 times 0,02038
0,47 pm 0,0399
Isso nos dá:
0,47 - 0,0399 = 0,4301
0,47 + 0,0399 = 0,5099

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional de assinantes que assistiram à série é de aproximadamente 43,0% a 51,0%.

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