O comitê de executivos de uma plataforma de streaming decide manter a produção de uma série se ela for assistida por ao menos
dos seus assinantes. Uma amostra dos 600 assinantes é escolhida aleatoriamente e estes são acompanhados ao longo de 12 meses. A tabela abaixo traz o número de assinantes
que assistiu à série pela primeira vez em cada um dos meses (nenhum assinante é contabilizado mais de uma vez):
Mês: i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Acumulado
Assinantes:
20
25
19
24
17
27
29
19
26
27
25
24
Construa um intervalo de confiança não-conservativo de
para a proporção populacional de assinantes que assistiram à série.
Mês: i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | Acumulado |
Assinantes:
|
20 | 25 | 19 | 24 | 17 | 27 | 29 | 19 | 26 | 27 | 25 | 24 |
|
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício onde o comitê de executivos de uma plataforma de streaming quer continuar produzindo uma série se pelo menos 50% dos assinantes assistirem a ela. Para verificar isso, eles fizeram uma amostra de 600 assinantes e acompanharam quantos assistiram à série pela primeira vez em cada um dos 12 meses. No total, 282 assinantes assistiram à série nesse período.
Hoje, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção de assinantes que assistiram à série na população toda. Isso vai ajudar a estimar se a porcentagem na amostra (47%) é representativa da população geral.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a proporção amostral. Isso é simplesmente o número de assinantes que assistiram à série dividido pelo total de assinantes na amostra.
Então, a proporção amostral é 0,47 ou 47%.
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quão precisa é a estimativa da proporção amostral em relação à proporção verdadeira da população.
A fórmula do erro padrão para uma proporção é:
Onde:
-
é a proporção amostral (0,47) -
é o tamanho da amostra (600)
Vamos calcular:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,02038.
Passo 4
Para construir o intervalo de confiança, precisamos encontrar o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 95%. Isso geralmente é feito usando a distribuição normal padrão (z).
Para um intervalo de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que a nossa estimativa esteja dentro de 1,96 desvios padrão da média amostral.
Passo 5
Agora, vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional de assinantes que assistiram à série é de aproximadamente 43,0% a 51,0%.