Uma livraria online classifica o atendimento ao cliente com base nas respostas de uma pesquisa de satisfação. As classificações podem ser: Excelente (E), Satisfatório (S) ou Insatisfatório (I). Um estudo revelou o seguinte: a probabilidade de um cliente fazer uma nova compra é 85% se o atendimento foi classificado como Excelente, 50% se foi Satisfatório e 15% se foi Insatisfatório. Além disso, as proporções dos clientes que classificaram o atendimento como Excelente, Satisfatório e Insatisfatório são 40%, 45% e 15%, respectivamente.
Dado que um cliente fez uma nova compra, qual é a probabilidade de sua classificação ter sido Excelente, Satisfatória ou Insatisfatória?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma livraria online que classifica o atendimento ao cliente como Excelente (E), Satisfatório (S) ou Insatisfatório (I). Dependendo dessa classificação, há diferentes probabilidades de o cliente fazer uma nova compra: 85% para E, 50% para S e 15% para I. Além disso, as proporções de clientes que deram cada classificação são 40% para E, 45% para S e 15% para I. Queremos descobrir, dado que um cliente fez uma nova compra, qual é a probabilidade de sua classificação ter sido E, S ou I. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • $ E $: o atendimento foi classificado como Excelente.
  • $ S $: o atendimento foi classificado como Satisfatório.
  • $ I $: o atendimento foi classificado como Insatisfatório.
  • $ C $: o cliente fez uma nova compra.
As probabilidades dadas são:
  • $ P(E) = 0.40 $
  • $ P(S) = 0.45 $
  • $ P(I) = 0.15 $
E:
  • $ P(C|E) = 0.85 $
  • $ P(C|S) = 0.50 $
  • $ P(C|I) = 0.15 $

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ P(E|C) $, $ P(S|C) $ e $ P(I|C) $. Para isso, vamos primeiro calcular a probabilidade total de um cliente fazer uma nova compra, $ P© $, usando a Regra da Probabilidade Total:
P(E|C)
Substituindo os valores:
P(S|C)
Calculando cada termo:
P(I|C)
P(C)
P(C) = P(C|E)P(E) + P(C|S)P(S) + P(C|I)P(I)
Somando:
P(C) = 0.85 times 0.40 + 0.50 times 0.45 + 0.15 times 0.15

Passo 4

Agora, aplicaremos o Teorema de Bayes para encontrar $ P(E|C) $, $ P(S|C) $ e $ P(I|C) $:
P(E|C)
P(S|C)
P(I|C)

Resposta

Dado que um cliente fez uma nova compra, a probabilidade de sua classificação ter sido:
  • Excelente: aproximadamente $ 57.8% $
  • Satisfatória: aproximadamente $ 38.3% $
  • Insatisfatória: aproximadamente $ 3.8% $

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