Em um compósito de nylon 6,6 reforçado com fibras de carbono contínuas e alinhadas, as fibras devem suportar 97 % de uma carga aplicada na direção longitudinal. Considerando os dados fornecidos, determine a fração volumétrica de fibras necessária.
Tipo de fibra Módulo de Elasticidade (GPa) Limite de Resistência à <br> tração (MPa)
Carbono 260 4000
Nylon 2,8 76

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a fração volumétrica de fibras de carbono necessárias em um compósito de nylon 6,6 que precisa suportar 97% de uma carga aplicada na direção longitudinal. Vamos usar conceitos de materiais compostos, especificamente a regra das misturas, que relaciona as propriedades dos materiais que compõem o compósito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra das misturas para o módulo de elasticidade do compósito. A ideia é que o módulo de elasticidade do compósito ( Ec) pode ser calculado como a soma das frações volumétricas de cada componente multiplicadas pelos seus respectivos módulos:
Ec = Vf cdot Ef + Vm cdot Em
Onde:
  • Vf é a fração volumétrica das fibras,
  • Ef é o módulo de elasticidade das fibras,
  • Vm é a fração volumétrica da matriz (nylon),
  • Em é o módulo de elasticidade da matriz.
Como as frações volumétricas devem somar 1:
Vm = 1 - Vf

Passo 3

Agora, queremos que as fibras suportem 97% da carga total. Isso significa que a proporção da carga suportada pelas fibras em relação ao compósito é 0,97. A resistência à tração do compósito ( sigmac) também pode ser estimada pela regra das misturas:
sigmac = Vf cdot sigmaf + Vm cdot sigmam
Queremos que sigmaf contribua com 97%:
Vf cdot sigmafsigmac = 0,97

Passo 4

Vamos isolar Vf nessa equação. Assumindo que o compósito deve ter a mesma resistência à tração que as fibras:
Vf cdot sigmaf = 0,97 cdot sigmac
Como sigmac é a resistência total, podemos assumir que:
sigmac = Vf cdot sigmaf + (1 - Vf) cdot sigmam
Substituindo na equação anterior:
Vf cdot sigmaf = 0,97 cdot (Vf cdot sigmaf + (1 - Vf) cdot sigmam)

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para Vf:
Vf cdot sigmaf = 0,97 cdot Vf cdot sigmaf + 0,97 cdot (1 - Vf) cdot sigmam
Rearranjando:
Vf cdot sigmaf - 0,97 cdot Vf cdot sigmaf = 0,97 cdot sigmam - 0,97 cdot Vf cdot sigmam
Fatorando Vf:
Vf cdot (sigmaf - 0,97 cdot sigmaf) = 0,97 cdot sigmam - 0,97 cdot Vf cdot sigmam
Simplificando:
Vf cdot sigmaf (1 - 0,97) = 0,97 cdot sigmam (1 - Vf)
Calculando os valores numéricos:
1 - 0,97 = 0,03
Então:
Vf cdot sigmaf cdot 0,03 = 0,97 cdot sigmam cdot (1 - Vf)

Passo 6

Agora, isolamos Vf:
Vf cdot sigmaf cdot 0,03 + 0,97 cdot sigmam cdot Vf = 0,97 cdot sigmam
Fatorando Vf:
Vf cdot (0,03 cdot sigmaf + 0,97 cdot sigmam) = 0,97 cdot sigmam
Finalmente, isolando Vf:
Vf = 0,97 cdot sigmam0,03 cdot sigmaf + 0,97 cdot sigmam

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • sigmaf = 4000 MPa (resistência à tração das fibras de carbono),
  • sigmam = 76 MPa (resistência à tração do nylon).
Substituindo na fórmula:
Vf = 0,97 cdot 760,03 cdot 4000 + 0,97 cdot 76
Calculando:
Vf = 73,72120 + 73,72 = 73,72193,72 approx 0,38

Resposta

A fração volumétrica de fibras de carbono necessária é de aproximadamente 38%.

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