Um gestor municipal pretende realizar uma pesquisa cujo objetivo é estimar a proporção, p, de munícipes residentes na cidade que são favoráveis à implantação de um projeto governamental. Determine o tamanho da amostra aleatória simples a ser coletada de modo o erro cometido na estimação de p por meio da proporção amostral p seja no máximo 0,02, com probabilidade igual a 95 %.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Um gestor quer saber qual a proporção $ p $ de moradores que são a favor de um projeto. Para isso, ele vai fazer uma amostra aleatória da população. A gente precisa descobrir quantas pessoas devem ser incluídas nessa amostra para que o erro na estimativa de $ p $ seja, no máximo, 0,02 (ou 2%), com 95% de confiança. Vamos usar conceitos de estatística, especialmente sobre amostragem e estimação de proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para estimar uma proporção $ p $ com uma determinada precisão e confiança, usamos a fórmula do tamanho da amostra:
p
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção que queremos estimar.
  • $ E $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 3

Vamos identificar cada um desses componentes na nossa questão:
  • A margem de erro $ E $ é 0,02.
  • O nível de confiança é 95%, o que corresponde a um valor $ Z $ de aproximadamente 1,96 na tabela da distribuição normal.
  • A proporção $ p $ não é conhecida inicialmente. Quando não sabemos $ p $, usamos o valor mais conservador, que é $ p = 0,5 $, porque isso maximiza o produto $ p \cdot (1 - p) $ e, consequentemente, o tamanho da amostra.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)0,02^2 )
Primeiro, calculamos $ 1,96^2 = 3,8416 $.

Passo 5

Em seguida, calculamos $ 0,5 \cdot (1 - 0,5) = 0,25 $.

Passo 6

Agora, multiplicamos esses resultados:
3,8416 cdot 0,25 = 0,9604

Passo 7

Finalmente, dividimos pelo quadrado da margem de erro:
n = 0,96040,0004 = 2401

Resposta

O tamanho da amostra aleatória simples necessário é de 2401 moradores.

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