Um gestor municipal pretende realizar uma pesquisa cujo objetivo é estimar a proporção,
, de munícipes residentes na cidade que são favoráveis à implantação de um projeto governamental. Determine o tamanho da amostra aleatória simples a ser coletada de modo o erro cometido na estimação de
por meio da proporção amostral
seja no máximo 0,02, com probabilidade igual a
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Um gestor quer saber qual a proporção $ p $ de moradores que são a favor de um projeto. Para isso, ele vai fazer uma amostra aleatória da população. A gente precisa descobrir quantas pessoas devem ser incluídas nessa amostra para que o erro na estimativa de $ p $ seja, no máximo, 0,02 (ou 2%), com 95% de confiança. Vamos usar conceitos de estatística, especialmente sobre amostragem e estimação de proporções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para estimar uma proporção $ p $ com uma determinada precisão e confiança, usamos a fórmula do tamanho da amostra:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção que queremos estimar.
- $ E $ é a margem de erro máxima permitida.
Passo 3
Vamos identificar cada um desses componentes na nossa questão:
- A margem de erro $ E $ é 0,02.
- O nível de confiança é 95%, o que corresponde a um valor $ Z $ de aproximadamente 1,96 na tabela da distribuição normal.
- A proporção $ p $ não é conhecida inicialmente. Quando não sabemos $ p $, usamos o valor mais conservador, que é $ p = 0,5 $, porque isso maximiza o produto $ p \cdot (1 - p) $ e, consequentemente, o tamanho da amostra.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos $ 1,96^2 = 3,8416 $.
Passo 5
Em seguida, calculamos $ 0,5 \cdot (1 - 0,5) = 0,25 $.
Passo 6
Agora, multiplicamos esses resultados:
Passo 7
Finalmente, dividimos pelo quadrado da margem de erro:
Resposta
O tamanho da amostra aleatória simples necessário é de 2401 moradores.