Considerando o motor de corrente contínua com excitação independente com os parâmetros abaixo representados, faça o que se pede:
a) Elabore sua representação literal em equações de estado;
b) Solucione as equações de estado para tensão de armadura ( Va ) e conjugado de carga como entradas;
c) Calcule a velocidade em estado permanente para aplicação de uma tensão Va=400 V com o motor a vazio e, em seguida, calcule a velocidade em estado permanente para aplicação de uma carga de 16 Nm .
Dados do Motor:
ra=1,49 Omega La=0,0159 H J=0,037 kgm^2 B=0,0117 Nms / rad k phi=1,9165 Vs / rad

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente tem um motor de corrente contínua com excitação independente e alguns parâmetros específicos. A matéria envolvida aqui é sobre modelagem de sistemas de controle, focando em equações de estado para motores DC. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como representar o motor usando equações de estado, resolver essas equações considerando a tensão de armadura e o torque de carga como entradas, e finalmente calcular a velocidade do motor em diferentes condições de operação.

Passo 2

Primeiro, vamos elaborar a representação das equações de estado do motor DC com excitação independente. As equações de estado descrevem como o sistema evolui ao longo do tempo com base nas suas entradas e no estado atual.
Para um motor DC, temos duas variáveis de estado principais:
  1. Corrente de armadura ( )
  2. Velocidade angular ( )
As equações de estado podem ser derivadas das leis de Kirchhoff para o circuito elétrico e das leis de movimento rotacional para a parte mecânica do motor.

Passo 3

Vamos escrever as equações de estado:
  1. Equação elétrica:
    Va = La diadt + ra ia + kphi omega
    Aqui, J domegadt = kphi ia - B omega é a tensão de armadura, é a indutância de armadura, é a resistência de armadura, e é a constante de torque.
  2. Equação mecânica:
    Onde é o momento de inércia, é o coeficiente de atrito viscoso, e representa o torque produzido pelo motor.

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações de estado considerando Va = ra ia + kphi omega e o torque de carga ( 0 = kphi ia - B omega - TL ) como entradas.
Assumindo que para o caso a vazio, e para a carga.
Primeiro, rearranjamos as equações para facilitar a resolução em estado permanente (quando as derivadas se igualam a zero):
  1. Para corrente de armadura em estado permanente:
  2. Para velocidade angular em estado permanente:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar kphi ia = B omega em cada caso.
Caso 1: Motor a vazio ( ia = B omegakphi ) e Va = ra (B omegakphi) + kphi omega
  1. Da segunda equação:
    Va = omega (ra Bkphi + kphi)
    omega = Vara Bkphi + kphi
  2. Substituindo omega = 4001.49 times 0.01171.9165 + 1.9165 na primeira equação:
    omega approx 4000.0091 + 1.9165 approx 4001.9256 approx 207.7, rad/s
    kphi ia = B omega + TL
    ia = B omega + TLkphi
    Substituindo os valores:
    Va = ra (B omega + TLkphi) + kphi omega
    Va = ra B omega + ra TLkphi + kphi omega
Caso 2: Motor com carga ( Va = omega (ra Bkphi + kphi) + ra TLkphi ) e omega = Va - ra TLkphira Bkphi + kphi
  1. Da segunda equação:
    omega = 400 - 1.49 times 161.91651.49 times 0.01171.9165 + 1.9165
    omega approx 400 - 23.841.91650.0091 + 1.9165 approx 400 - 12.41.9256 approx 387.61.9256 approx 201.0, rad/s
  2. Substituindo na primeira equação:
    Substituindo os valores:

Resposta

  • A velocidade em estado permanente:
    • Motor a vazio ( ): aproximadamente .
    • Motor com carga de 16 Nm ( ): aproximadamente .

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