Considerando a função de transferência de uma planta industrial dada por G(s)=2 /(s+1), projete um controlador que confira ao sistema de controle em malha fechada erro de estado permanente igual a zero, polos dominantes complexos conjugados mais rápidos que o pólo original e sobressinal igual a 1,5 %. Considere a função de transferência da malha de retroação dada por H(s)=Ks.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente projetar um controlador para uma planta industrial cuja função de transferência é . O objetivo é que o sistema de controle em malha fechada tenha:
  1. Erro de estado permanente igual a zero.
  2. Polos dominantes complexos conjugados mais rápidos que o pólo original.
  3. Sobressinal ( ) igual a .
Além disso, a função de transferência da malha de retroação é .
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada parte do processo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter erro de estado permanente igual a zero. No controle de sistemas, o erro de estado permanente é a diferença entre a referência desejada e o valor real do sistema quando ele atinge o estado estacionário. Para que esse erro seja zero, precisamos que o sistema tenha um tipo de sistema que elimine esse erro para uma determinada referência.
Nos sistemas de controle, o tipo do sistema está relacionado ao número de integradores na malha aberta. Um sistema tipo 0 não tem integradores, tipo 1 tem um integrador, e assim por diante. Para alcançarmos erro de estado permanente zero para uma referência de degrau (como parece ser o caso aqui), precisamos de pelo menos um integrador no sistema, ou seja, um sistema tipo 1.

Passo 3

Agora, vamos falar dos polos dominantes. Os polos são valores no plano complexo que determinam o comportamento do sistema no tempo, como estabilidade, velocidade de resposta e sobressinal. Queremos que os polos dominantes sejam complexos conjugados e mais rápidos que o pólo original da planta.
O pólo original da planta %OS = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100% é em . Queremos que os novos polos tenham uma parte real mais negativa (mais rápido) e tenham uma componente imaginária para formar um par complexo conjugado.
Além disso, o sobressinal de nos dá uma ideia da amortecimento ( ) do sistema. O sobressinal está relacionado ao fator de amortecimento pela fórmula:
Vamos usar essa relação para encontrar o valor de .

Passo 4

Vamos calcular o fator de amortecimento ln(%OS100) = -pi zetaraiz1 - zeta^2 com base no sobressinal desejado de ln(1,5100) = -pi zetaraiz1 - zeta^2 . Rearranjando a fórmula do sobressinal:
ln(0,015) approx -4,1997 = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Substituindo 4,1997 = pi zetaraiz1 - zeta^2 :
4,1997 raiz1 - zeta^2 = pi zeta
Calculando:
(4,1997)^2 (1 - zeta^2) = (pi zeta)^2
Vamos resolver essa equação para encontrar 17,676 = pi^2 zeta^2 + 17,676 zeta^2 . Multiplicando ambos os lados por zeta^2 (pi^2 + 17,676) = 17,676 :
zeta^2 = 17,676pi^2 + 17,676 approx 0,3503
Agora, isolamos zeta approx raiz0,3503 approx 0,592 :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Calculando:
Fatorando :
Resolvendo para :
Portanto:

Passo 5

Com o valor de s = -zeta omegan pm j omegan raiz1 - zeta^2 encontrado, podemos determinar a frequência natural desejada 2 = 0,592 omegan Rightarrow omegan approx 20,592 approx 3,378 , rad/s para os polos dominantes mais rápidos que o pólo original s = -2 pm j cdot 3,378 raiz1 - 0,592^2 approx -2 pm j cdot 3,378 cdot 0,806 approx -2 pm j cdot 2,722 .
Sabemos que os polos do sistema desejado serão da forma:
Queremos que a parte real seja maior que 1 (mais rápida que o pólo original). Vamos escolher (por exemplo), então:
Agora, os polos desejados são:

Passo 6

Agora, vamos projetar o controlador. Como queremos zero erro de estado permanente para degrau, precisamos adicionar um integrador ao sistema, ou seja, usar um controlador proporcional-integral (PI).
A função de transferência do controlador PI é:
C(s) = Kp (1 + 1Ti s)
Onde T(s) = C(s)G(s)1 + C(s)G(s)H(s) é o ganho proporcional e T(s) = Kp (1 + 1Ti s) cdot 2s + 11 + Kp (1 + 1Ti s) cdot 2s + 1 cdot Ks é o tempo integral.
Nosso objetivo é escolher T(s) = 2 Kp (1 + 1Ti s)s + 1 + 2 Kp (1 + 1Ti s) e T(s) = 2 Kp (Ti s + 1)Ti s (s + 1) + 2 Kp (Ti s + 1) de forma que os polos da malha fechada sejam Ti s (s + 1) + 2 Kp (Ti s + 1) = 0 .
A função de transferência de malha fechada é:
Ti s^2 + Ti s + 2 Kp Ti s + 2 Kp = 0
Substituindo Ti s^2 + s(Ti + 2 Kp Ti) + 2 Kp = 0 , (s + 2 - j2,722)(s + 2 + j2,722) = s^2 + 4s + (2^2 + 2,722^2) = s^2 + 4s + 12,397 , e Ti = 1 (coeficiente de s^2) :
Ti + 2 Kp Ti = 4 (coeficiente de s)
Para simplificar, vamos assumir 2 Kp = 12,397 (termo constante) :
2 Kp = 12,397 Rightarrow Kp = 6,1985
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Igualando o denominador a zero para encontrar os polos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Queremos que os polos dessa equação coincidam com os polos desejados . Isso significa que o polinômio característico deve ser igual a:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo para :
E já que .

Resposta

O controlador projetado é um controlador Proporcional-Integral (PI) com função de transferência:
C(s) = 6,1985 (1 + 1s)

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