Considerando a função de transferência de uma planta industrial dada por
, projete um controlador que confira ao sistema de controle em malha fechada erro de estado permanente igual a zero, polos dominantes complexos conjugados mais rápidos que o pólo original e sobressinal igual a
. Considere a função de transferência da malha de retroação dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente projetar um controlador para uma planta industrial cuja função de transferência é
. O objetivo é que o sistema de controle em malha fechada tenha:
- Erro de estado permanente igual a zero.
- Polos dominantes complexos conjugados mais rápidos que o pólo original.
- Sobressinal (
) igual a .
Além disso, a função de transferência da malha de retroação é
.
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada parte do processo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter erro de estado permanente igual a zero. No controle de sistemas, o erro de estado permanente é a diferença entre a referência desejada e o valor real do sistema quando ele atinge o estado estacionário. Para que esse erro seja zero, precisamos que o sistema tenha um tipo de sistema que elimine esse erro para uma determinada referência.
Nos sistemas de controle, o tipo do sistema está relacionado ao número de integradores na malha aberta. Um sistema tipo 0 não tem integradores, tipo 1 tem um integrador, e assim por diante. Para alcançarmos erro de estado permanente zero para uma referência de degrau (como parece ser o caso aqui), precisamos de pelo menos um integrador no sistema, ou seja, um sistema tipo 1.
Passo 3
Agora, vamos falar dos polos dominantes. Os polos são valores no plano complexo que determinam o comportamento do sistema no tempo, como estabilidade, velocidade de resposta e sobressinal. Queremos que os polos dominantes sejam complexos conjugados e mais rápidos que o pólo original da planta.
O pólo original da planta
é em
. Queremos que os novos polos tenham uma parte real mais negativa (mais rápido) e tenham uma componente imaginária para formar um par complexo conjugado.
Além disso, o sobressinal de
nos dá uma ideia da amortecimento (
) do sistema. O sobressinal está relacionado ao fator de amortecimento pela fórmula:
Vamos usar essa relação para encontrar o valor de
.
Passo 4
Vamos calcular o fator de amortecimento
com base no sobressinal desejado de
. Rearranjando a fórmula do sobressinal:
Substituindo
:
Calculando:
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Calculando:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Portanto:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos determinar a frequência natural desejada
para os polos dominantes mais rápidos que o pólo original
.
Sabemos que os polos do sistema desejado serão da forma:
Queremos que a parte real
seja maior que 1 (mais rápida que o pólo original). Vamos escolher
(por exemplo), então:
Agora, os polos desejados são:
Passo 6
Agora, vamos projetar o controlador. Como queremos zero erro de estado permanente para degrau, precisamos adicionar um integrador ao sistema, ou seja, usar um controlador proporcional-integral (PI).
A função de transferência do controlador PI é:
Onde
é o ganho proporcional e
é o tempo integral.
Nosso objetivo é escolher
e
de forma que os polos da malha fechada sejam
.
A função de transferência de malha fechada é:
Substituindo
,
, e
:
Para simplificar, vamos assumir
:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Igualando o denominador a zero para encontrar os polos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Queremos que os polos dessa equação coincidam com os polos desejados
. Isso significa que o polinômio característico deve ser igual a:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo para
:
E já que
.
Resposta
O controlador projetado é um controlador Proporcional-Integral (PI) com função de transferência: