Estime o tempo de subida do sistema G(s)=1(s+20)(s^2+2 s+5) submetido a um degrau unitário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente estimar o tempo de subida de um sistema representado pela função de transferência quando submetido a um degrau unitário. Isso está dentro do estudo de Sistemas de Controle, onde analisamos como sistemas reagem a entradas específicas. Pra resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, polos do sistema e como esses polos influenciam na resposta do sistema ao degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função de transferência (s + 20)(s^2 + 2s + 5) = 0 . Os polos são os valores de s = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 202 = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2j que fazem o denominador igual a zero. Então, temos:
Isso resulta em três polos:
  1. (um polo real)
  2. Para , usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois polos complexos: e .

Passo 3

Agora que identificamos os polos, vamos focar nos polos dominantes, que são aqueles que mais influenciam na resposta do sistema, especialmente no tempo de subida. Normalmente, os polos complexos dominantes determinam o comportamento oscilatório e a rapidez com que o sistema responde.
Os polos complexos que temos são zeta omegan = 1 e omegan raiz1 - zeta^2 = 2 . Vamos extrair a frequência natural ( ) e o fator de amortecimento ( ) desses polos.
Para um polo complexo , comparando com :

Passo 4

Vamos resolver para zeta omegan = 1 Rightarrow omegan = 1zeta e 1zeta raiz1 - zeta^2 = 2 Rightarrow raiz1 - zeta^2 = 2zeta .
Primeiro, da primeira equação:
1 - zeta^2 = 4zeta^2 Rightarrow 1 = 5zeta^2 Rightarrow zeta^2 = 15 Rightarrow zeta = 1raiz5 approx 0,447
Agora, substituindo omegan = 1zeta = raiz5 approx 2,236 na segunda equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, substituindo de volta para encontrar :

Passo 5

Com tr approx pi - thetaomegad e theta = arctan(raiz1 - (0,447)^20,447) = arctan(raiz1 - 0,20,447) = arctan(raiz0,80,447) approx arctan(0,8940,447) approx arctan(2) approx 63,43^circ em mãos, podemos usar a fórmula aproximada para o tempo de subida ( 63,43^circ approx 1,107 radianos ) de um sistema de segunda ordem:
omegad = 2,236 times raiz1 - (0,447)^2 = 2,236 times raiz0,8 approx 2,236 times 0,894 approx 2,0 rad/s
Onde:
  • é a frequência amortecida.
Calculando :
Convertendo para radianos:
Calculando :

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula do tempo de subida:
tr approx pi - 1,1072,0 = 3,1416 - 1,1072,0 = 2,03462,0 approx 1,017 segundos

Resposta

O tempo de subida estimado do sistema é aproximadamente 1,02 segundos.

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