Estime o tempo de subida do sistema
submetido a um degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente estimar o tempo de subida de um sistema representado pela função de transferência
quando submetido a um degrau unitário. Isso está dentro do estudo de Sistemas de Controle, onde analisamos como sistemas reagem a entradas específicas. Pra resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, polos do sistema e como esses polos influenciam na resposta do sistema ao degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função de transferência
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Então, temos:
Isso resulta em três polos:
-
(um polo real) - Para
, usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois polos complexos:
e
.
Passo 3
Agora que identificamos os polos, vamos focar nos polos dominantes, que são aqueles que mais influenciam na resposta do sistema, especialmente no tempo de subida. Normalmente, os polos complexos dominantes determinam o comportamento oscilatório e a rapidez com que o sistema responde.
Os polos complexos que temos são
. Vamos extrair a frequência natural (
) e o fator de amortecimento (
) desses polos.
Para um polo complexo
, comparando com
:
Passo 4
Vamos resolver para
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituindo
na segunda equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, substituindo
de volta para encontrar
:
Passo 5
Com
e
em mãos, podemos usar a fórmula aproximada para o tempo de subida (
) de um sistema de segunda ordem:
Onde:
-
-
é a frequência amortecida.
Calculando
:
Convertendo para radianos:
Calculando
:
Passo 6
Agora, aplicando na fórmula do tempo de subida:
Resposta
O tempo de subida estimado do sistema é aproximadamente 1,02 segundos.