Considerando o oscilador harmônico forçado não-amortecido no regime de ressonância ( omega omega0 ), que parte do repouso na posição de equilíbrio, qual o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação?
A. Linear decrescente.
B. Exponencial decrescente.
C. Constante.
D. Linear crescente.
E. Exponencial crescente.
Disenhe numa gráfica a equação de movimento e marque a curva antes referida.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico forçado não-amortecido no regime de ressonância, ou seja, a frequência da força externa ( omega) está se aproximando da frequência natural do sistema ( omega0). O sistema parte do repouso na posição de equilíbrio. Queremos determinar o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação.
Para resolver, vamos precisar:
  • Conhecer a equação de movimento do oscilador harmônico forçado.
  • Entender o que significa estar no regime de ressonância.
  • Identificar como os máximos da oscilação se comportam nesse regime.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de movimento para um oscilador harmônico forçado não-amortecido:
md^2xdt^2 + kx = F0 cos(omega t)
Onde:
  • m é a massa,
  • k é a constante da mola,
  • x é o deslocamento,
  • F0 é a amplitude da força externa,
  • omega é a frequência da força externa.
Para simplificar, podemos reescrever a equação como:
d^2xdt^2 + omega0^2 x = F0m cos(omega t)
Aqui, omega0 = raizkm é a frequência natural do oscilador.

Passo 3

No regime de ressonância, a frequência da força externa omega é igual à frequência natural omega0. Nesse caso, a solução da equação de movimento apresenta uma resposta particular que cresce com o tempo. A solução geral é dada por:
x(t) = A t sin(omega0 t) + C cos(omega0 t) + D sin(omega0 t)
Como o sistema parte do repouso na posição de equilíbrio, as constantes C e D podem ser determinadas e, eventualmente, descartadas para longos períodos de tempo. O termo dominante é:
x(t) = A t sin(omega0 t)
Isso significa que a amplitude da oscilação aumenta linearmente com o tempo.

Passo 4

Os pontos de máximo da oscilação ocorrem quando o seno é igual a 1 ou -1, ou seja, quando sin(omega0 t) = pm 1. Portanto, os máximos são dados por:
xmax(t) = pm A t
Isso mostra que os pontos de máximo seguem uma linha reta que aumenta ou diminui proporcionalmente ao tempo.

Passo 5

Agora, analisando as opções:
A. Linear decrescente.
B. Exponencial decrescente.
C. Constante.
D. Linear crescente.
E. Exponencial crescente.
Observando que os máximos da oscilação aumentam proporcionalmente ao tempo, a curva que passa por esses pontos é uma linha reta que cresce linearmente.

Resposta

A alternativa correta é D. Linear crescente.

Gráfica

A seguir, uma representação gráfica da equação de movimento x(t) = A t sin(omega0 t) com a curva dos pontos de máximo destacados:
Gráfica do Oscilador Harmônico Forçado no Regime de Ressonância
Na gráfica acima, a curva azul representa o movimento oscilatório x(t), e a linha vermelha destaca os pontos de máximo que seguem uma tendência linear crescente.

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