Considerando o oscilador harmônico forçado não-amortecido no regime de ressonância (
), que parte do repouso na posição de equilíbrio, qual o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação?
A. Linear decrescente.
B. Exponencial decrescente.
C. Constante.
D. Linear crescente.
E. Exponencial crescente.
Disenhe numa gráfica a equação de movimento e marque a curva antes referida.
A. Linear decrescente.
B. Exponencial decrescente.
C. Constante.
D. Linear crescente.
E. Exponencial crescente.
Disenhe numa gráfica a equação de movimento e marque a curva antes referida.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico forçado não-amortecido no regime de ressonância, ou seja, a frequência da força externa (
) está se aproximando da frequência natural do sistema (
). O sistema parte do repouso na posição de equilíbrio. Queremos determinar o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação.
Para resolver, vamos precisar:
- Conhecer a equação de movimento do oscilador harmônico forçado.
- Entender o que significa estar no regime de ressonância.
- Identificar como os máximos da oscilação se comportam nesse regime.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de movimento para um oscilador harmônico forçado não-amortecido:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante da mola, -
é o deslocamento, -
é a amplitude da força externa, -
é a frequência da força externa.
Para simplificar, podemos reescrever a equação como:
Aqui,
é a frequência natural do oscilador.
Passo 3
No regime de ressonância, a frequência da força externa
é igual à frequência natural
. Nesse caso, a solução da equação de movimento apresenta uma resposta particular que cresce com o tempo. A solução geral é dada por:
Como o sistema parte do repouso na posição de equilíbrio, as constantes
e
podem ser determinadas e, eventualmente, descartadas para longos períodos de tempo. O termo dominante é:
Isso significa que a amplitude da oscilação aumenta linearmente com o tempo.
Passo 4
Os pontos de máximo da oscilação ocorrem quando o seno é igual a 1 ou -1, ou seja, quando
. Portanto, os máximos são dados por:
Isso mostra que os pontos de máximo seguem uma linha reta que aumenta ou diminui proporcionalmente ao tempo.
Passo 5
Agora, analisando as opções:
A. Linear decrescente.
B. Exponencial decrescente.
C. Constante.
D. Linear crescente.
E. Exponencial crescente.
B. Exponencial decrescente.
C. Constante.
D. Linear crescente.
E. Exponencial crescente.
Observando que os máximos da oscilação aumentam proporcionalmente ao tempo, a curva que passa por esses pontos é uma linha reta que cresce linearmente.
Resposta
A alternativa correta é D. Linear crescente.
Gráfica
A seguir, uma representação gráfica da equação de movimento
com a curva dos pontos de máximo destacados:
Na gráfica acima, a curva azul representa o movimento oscilatório
, e a linha vermelha destaca os pontos de máximo que seguem uma tendência linear crescente.
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(a) do plástico
(b) do óleo.