Considerando X ~Poisson (0,2), e sabendo que é 0,82, aproximadamente, indique a alternativa correta com relação ao seguinte cálculo:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão envolvendo a distribuição de Poisson. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda = 0,2 $. A gente precisa calcular a expressão:
X
Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição de Poisson e também o valor esperado dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a probabilidade de $ X $ assumir um valor específico na distribuição de Poisson. A fórmula é:
X
Onde:
  • $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição (neste caso, 0,2),
  • $ k $ é o valor que $ X $ pode assumir,
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).

Passo 3

Vamos calcular $ P(X = 1) $. Usando a fórmula:
P(X = 1)
Sabemos que $ e^{-0,2} \approx 0,82 $, então:
P(X = 1) = e^-0,2 times 0,2^11! = e^-0,2 times 0,2

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ para a distribuição de Poisson. O valor esperado é igual ao parâmetro $ \lambda $:
E(X)
Então, $ E(X)^2 = (0,2)^2 = 0,04 $.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ P(X = 2) $ usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(X = 2)
Substituindo $ e^{-0,2} \approx 0,82 $:
P(X = 2) = e^-0,2 times 0,2^22! = e^-0,2 times 0,042 = e^-0,2 times 0,02

Passo 6

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na expressão original:
P(X = 1) times (E(X)^2)P(X = 2) times 4 = 0,164 times 0,040,0164 times 4
Primeiro, multiplica no numerador e no denominador:
0,006560,0656

Passo 7

Agora, fazemos a divisão:
0,006560,0656 = 0,1

Resposta

O valor da expressão é $ 0,1 $.

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